x, y, z

Помогите решить неравенства

# 2 Сен 2015 00:56:49
Vika
1. $(x+5)(x-2)(x-7)<0$

2. $|12x-2| \le 10$

3. $|x^2-2x|>6$
# 2 Сен 2015 01:15:10
math
1. Знак произведения зависит от знаков сомножителей. Произведение будет отрицательным в том и только в том случае, если кол-во отрицательных сомножителей нечетное. В данном случае кол-во отрицательных сомножителей должно быть 3 или 1. Вот эти случаи: ---, -++, +-+, ++-.

Случай ---
$\left\{\begin{matrix} x+5<0\\ x-2<0\\ x-7<0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x<-5\\ x<2\\ x<7 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x<-5$

Случай -++
$\left\{\begin{matrix} x+5<0\\ x-2>0\\ x-7>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x<-5\\ x>2\\ x>7 \end{matrix}\right.$ - нет решений

Случай +-+
$\left\{\begin{matrix} x+5>0\\ x-2<0\\ x-7>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>-5\\ x<2\\ x>7 \end{matrix}\right.$ - нет решений

Случай ++-
$\left\{\begin{matrix} x+5>0\\ x-2>0\\ x-7<0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>-5\\ x>2\\ x<7 \end{matrix}\right.\Rightarrow x\in (2;7)$

Итоговый ответ: $x\in (-\infty;-5)\cup(2;7)$.

Можно было решать несколько другим способом. Если какую-нибудь пару сомножителей рассмотреть как квадратный многочлен, то в результате получим произведение из двух сомножителей, и соответственно, варианты на знаки: +- или -+.

Пусть выделили квадратный многочлен $(x-2)(x-7)$. Его корни 2 и 7, а старший коэффициент положительный, т.е. ветви параболы направлены вверх, поэтому
$(x-2)(x-7)>0 \Leftrightarrow x\in(-\infty;2)\cup(7;+\infty)$,
$(x-2)(x-7)<0 \Leftrightarrow 2<x<7$.

Рассмотрим два варианта.

Случай -+
$\left\{\begin{matrix} x+5<0\\ (x-2)(x-7)>0\\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>-5\\ x\in(-\infty;2)\cup(7;+\infty) \end{matrix}\right.\Rightarrow x<-5$

Случай +-
$\left\{\begin{matrix} x+5>0\\ (x-2)(x-7)<0\\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>-5\\ 2<x<7 \end{matrix}\right.\Rightarrow x\in (2;7)$

В итоге приходим к тому же ответу.
# 2 Сен 2015 01:36:51
math
2.
$$|12x-2| \le 10 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12x-2 \le 10\\ 12x-2 \ge -10 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x-1 \le 5\\ 6x-1 \ge -5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \\ \left\{\begin{matrix} 6x \le 6\\ 6x \ge -4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \le 1\\ x \ge -\tfrac{2}{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow x\in \left[-\tfrac{2}{3};1\right].$$
# 2 Сен 2015 01:47:14
math
3.
$|x^2-2x|>6\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x^2-2x>6\\ x^2-2x<-6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x^2-2x-6>0\\ x^2-2x+6<0. \end{matrix}\right.$

Напомню, квадратная скобка в системе значит, что должно быть верно хотя бы одно из условий, а фигурная - должны быть выполнены все условия.

Уравнение $x^2-2x+6=0$ не имеет корней, старший коэффициент положительный, поэтому всегда справедливо неравенство $x^2-2x+6>0$, то есть второе неравенство последней системы не имеет решений.

Уравнение $x^2-2x-6=0$ имеет корни $1\pm\sqrt{7}$, старший коэффициент положительный, поэтому $x^2-2x+6<0 \Leftrightarrow x\in(-\infty;1-\sqrt{7})\cup (1+\sqrt{7};+\infty)$.

Ответ: $x\in(-\infty;1-\sqrt{7})\cup (1+\sqrt{7};+\infty)$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.