x, y, z

Найти наименьшее значение тригонометрического выражения

# 8 Авг 2015 16:43:02
Fedor
Найдите наименьшее значение выражения $3\sin^2\alpha + 7\cos^2\alpha + 8\sin^4\alpha + 12\cos^4\alpha$.
# 9 Авг 2015 16:25:33
Evgeniy

Так как $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$, то $\sin^4\alpha = (1 - \cos^2\alpha)^2 = 1 - 2\cos^2\alpha + \cos^4\alpha$.

Заменяя степени синусов на их выражения через косинусы, получим:

$3\sin^2\alpha + 7\cos^2\alpha + 8\sin^4\alpha + 12\cos^4\alpha = 20\cos^4\alpha -12 \cos^2\alpha+11$.

Задача свелась к нахождению минимума $20x^2-12x+11$ при $0 \le x \le 1$.

В общем случае квадратный многочлен $f(x)=ax^2+bx+c$ достигает экстремума в точке $x_0=-\frac{b}{2a}$ и этот экстремум равен $f(x_0)=-\frac{b^2}{4a}+c$. Если $a>0$, то экстремум есть минимум, если $a<0$ - максимум.

В нашем случае $x_0=\frac{3}{20}$ и минимум равен $f(x_0)=\frac{46}{5}$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.