x, y, z

Найдите наибольшее значение x + y, если числа x и y удовлетворяют условию

# 8 Авг 2015 10:11:33
Fedor
Здравствуйте. Помогите решить задачу. Найдите наибольшее значение $x + y$, если числа $x$ и $y$ удовлетворяют условию
$$\log_{\frac{1}{2}\left((x+y)(x+y)-2xy\right)}y \ge 1$$.
# 8 Авг 2015 10:25:49
Evgeniy

Очевидно, что $\frac{1}{2}\left((x+y)(x+y)-2xy\right) = \frac{x^2+y^2}{2}$.

Далее имеем
$$\log_{\frac{x^2+y^2}{2}}y \ge 1 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2+y^2}{2}>1\\ y\ge \frac{x^2+y^2}{2} \end{matrix}\right. \lor \left\{\begin{matrix} \frac{x^2+y^2}{2}<1\\ y\le \frac{x^2+y^2}{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2>2\\ x^2+(y-1)^2\le 1 \end{matrix}\right.\lor \left\{\begin{matrix} x^2+y^2<2\\ x^2+(y-1)^2\ge 1. \end{matrix}\right.$$

Если $x+y=C$, тогда $y=-x+C$. Нужно найти прямую такого вида с наибольшим $C$. Из графика видно, что это будет прямая, которая касается маленькой окружности $x^2+(y-1)^2 = 1$ в точке $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \ 1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$, при этом $C=1+\sqrt{2}$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.