x, y, z

Найти количество корней тригонометрического уравнения на промежутке

# 21 Мар 2015 23:33:21
Stasy
Давно уравнение $\sin x+\cos x=1{,}4$. Нужно найти количество корней на промежутке $[-\pi, 3\pi]$.

Чего я только с ним не делала. В итоги нашла экстремумы, максимум по игреку оказался $\sqrt{2}$. И лежит он выше $1{,}4$. Короче, я добила этот пример, но все это получилось так муторно. Есть ли более простое решение?
# 22 Мар 2015 06:38:16
Evgeniy

Можно представить выражение как косинус (или синус) суммы.

$%$\sin x+\cos x=1{,}4 \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1{,}4}{\sqrt{2}} \\ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1,4}{\sqrt{2}}$%$
# 22 Мар 2015 08:28:07
Stasy
У меня так же получилось. Проблема в том, что там арксинус не табличный. Поэтому и искала экстремумы. Калькуляторов у нас не будет, нужно обходиться подручными средствами.
# 22 Мар 2015 08:35:32
Evgeniy

Можно без калькулятора

$\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1,4}{\sqrt{2}} \lessapprox 1$

После замены $t=\left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ найдем, что $-\pi \le x \le 3\pi \Leftrightarrow -\frac{3\pi}{4} \le t \le \frac{13\pi}{4}$.

https://i.imgur.com/aiq1DLa.jpg
Как видно, имеем 4 решения.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.