x, y, z

Доказать, что кольцо целых чисел является кольцом главных идеалов

# 14 Апр 2015 22:54:00
Ксения
Как можно доказать, что кольцо целых чисел является кольцом главных идеалов??
# 15 Апр 2015 01:21:39
Evgeniy

Всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.

Целостное кольцо $K$ называется евклидовым кольцом, если определена функция $\delta :K\setminus \{ 0\} \to {\Bbb N} \cup \{0\}$, называемая евклидовой нормой, удовлетворяющая условиям:

1) $\forall a,b \in K, \; a,b \ne 0\; \delta (a) \le \delta (ab)$;

2) $\forall a,b \in K,\; b \ne 0\; \exists q,r \in K$ такие, что $a=bq+r$, причем $\delta(r)<\delta(b)$ либо $r = 0$.

Например, если положить $\delta(x)=|x|$ для ${\Bbb Z}$ и $\delta(f)=\deg f$ для $F[x]$, где $F$ — некоторое поле, то ${\Bbb Z}$ и $F[z]$ будут евклидовыми кольцами.

Евклидовость кольца целых чисел ${\Bbb Z}$ можно обосновать так. Первое свойство евклидовой нормы $\forall a,b \in {\Bbb Z}\; a,b\ne 0\; |a|\le |ab|$ следует из свойств произведения натуральных чисел. Возможность представления $a=bq+r$ следует из архимедовости кольца ${\Bbb Z}$. Хотя можно просто сослаться на существование алгоритма деления с остатком.

Аналогично показывается евклидовость кольца $F[z]$. Свойство $\forall f,g \in F[x]\; f,g\ne0\; \deg f \le \deg fg$ следует из аналогичного свойства для ${\Bbb Z}$, поскольку действия со степенями происходят в ${\Bbb Z}$. Возможность представления $a=bq+r$ следует из существования алгоритма деления с остатком.

Теперь докажем, что евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.

Пусть $I$ идеал евклидова кольца $K$ с евклидовой нормой $\delta$. Евклидова норма $\delta$ принимает натуральные значения либо 0, поэтому она достигает минимума на $I$. Пусть $a\in I$ — элемент, на котором достигается этот минимум.

Покажем, что всякий элемент $x$ из $I$ имеет вид $x=ay$. Ввиду евклидовости кольца $K$ всякий $x$ представляется в виде $x=aq+r$, где $\delta(r)<\delta(a)$ либо $r=0$. Так как $x,a\in I$, то $r=x-aq\in I$. Но $a\in I$ — элемент, на котором достигается минимум евклидовой нормы в идеале $I$, поэтому $r=0$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.