x, y, z

Является ли множество идеалом кольца?

# 13 Апр 2015 09:28:53
Ксения
Является ли идеалом множество многочленов, не содержащих членов со степенями меньшими пяти, в кольце многочленов с целыми коэффициентами Z[x]?

Наверно, здесь нужно проверить две аксиомы сложения и умножения. Какие многочлены перемножить и сложить, чтобы доказать?
# 13 Апр 2015 10:35:27
Evgeniy

Формально это множество можно записать так $M=\{f(x)\in {\Bbb Z}[x]: \deg f(x)\ge 5\}$.

Всякий многочлен $f(x)$ из множества $M$ может быть представлен в виде $f(x)=x^5g(x)$, где $g(x)$ произвольный многочлен кольца ${\Bbb Z}[x]$. И обратно, всякий многочлен вида $x^5g(x)$ имеет степень не меньше 5, а значит принадлежит множеству $M$.

Таким образом, $M=x^5{\Bbb Z}[x]$, то есть $M$ — главный идеал кольца ${\Bbb Z}[x]$.

На всякий случай напомню.

Непустое подмножество $I$ кольца $K$ называется идеалом кольца $K$, если:

  1. $I$ — аддитивная подгруппа кольца $K$, то есть $a,b\in I \Rightarrow a+b\in I$ и $a\in I\Rightarrow -a\in I$;
  2. $I$ замкнуто относительно умножения на произвольный элемент кольца $K$, то есть $a\in I, \ x\in K \Rightarrow ax\in I$.

Из второго свойства следует замкнутость $I$ относительно умножения, поэтому $I$ является подкольцом кольца $K$.

Проверим, что множество $I=rK=\{rx\colon x\in K\}$, где $r$ — фиксированный элемент кольца $K$, является идеалом кольца $K$.

$I$ является аддитивной подгруппой кольца, так как $\forall x,y\in K$ верно $rx+ry=r(x+y)$ и $-(rx)=r(-x)$.

$I$ замкнуто относительно умножения на произвольный элемент кольца, так как $\forall x\in K$ верно $(rx)y=r(xy)$.

Идеалы вида $I=rK$ называются главными идеалами.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.