x, y, z

Разные способы определения комплексных чисел

# 15 Авг 2020 19:16:03
Evgeniy

Мнимая единица

Комплексные числа можно определять разными способами:

  1. Как множество упорядоченных пар вещественных чисел, на котором формально заданы операции сумма и произведение пар по правилам
    $$ \begin{aligned} & (a, b)+(c, d)=(a+c, \; b+d), \\ & (a, b)\cdot (c, d)=(ac-bd, \; ad+bc). \end{aligned} $$
    Роль единицы играет пара $(1,0)$, роль мнимой единицы играет пара $(0, 1)$.

  2. Путем удвоения (процедура Кэли-Диксона) одномерной алгебры $\mathbb{R}$. По сути это первый способ, но с более замысловатой теоретической подоплекой.

  3. Как двумерную коммутативную алгебру над полем $\mathbb{R}$ с базисными элементами $\langle 1, \; i \rangle$, которые удовлетворяют соотношениям $1\cdot 1=1, \ 1 \cdot i=i, \ i \cdot i=-1$.

  4. Как факторкольцо $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$. Роль мнимой единицы играет класс, содержащий полином $x$.

  5. Как множество матриц вида $\lambda A$, где $\lambda$ — вещественное число, $A$матрица поворота из $SO(2)$. Роль мнимой единицы играет матрица поворота на угол $\pi/2$.

Какие еще способы есть? Какой способ, по-вашему, наиболее простой, естественный?
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.