x, y, z

Как доказать предел?

# 16 Ноя 2019 20:12:35
Странник
Как доказать, что $\lim\limits_{x\to+\infty} x\left(\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{e}-1\right) = -1/2$
# 16 Ноя 2019 22:12:55
Sheldon

По формуле Тейлора $\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)$ при $x\to+\infty$, то есть $x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=1-\frac{1}{2x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$ при $x\to+\infty$.

Поэтому

$x\left (\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{e}-1 \right ) = x\left (e^{x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-1}- 1\right ) = x\left (e^{-\frac{1}{2x}+o\left(\frac{1}{x}\right)}-1 \right ) \sim x\left (-\frac{1}{2x}+o\left(\frac{1}{x}\right) \right ) = -\frac{1}{2}+o(1) \to -\frac{1}{2}$ при $x\to+\infty$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.