x, y, z

Схема Бернулли

# 29 Сен 2019 15:44:04
sol
Из множества $S=\{1,2,...,N\}$ независимо выбираются $r$ подмножеств $A_{1},A_{2},...,A_{r}$. Механизм выбора состоит в следующем: любой элемент множества $S$ независимо от других элементов с вероятностью $p$ включается в подмножество $A_{i}$ и с вероятностью $q=1-p$ не включается. Найти:
  1. a)$P\{|A_{1}\cap A_{2}...\cap A_{r}|=k\}$
  1. b)$P\{|A_{1}\cup A_{2}...\cup A_{r}|=k\}$

Решение
  1. а) Составим последовательность из $0$ и $1$, которая будет характеризовать очередное множество $A_{i}~(1\le i\le r)$ следующим образом: если очередной элемент $a_{j}\in S~(1\le j\le N)$ попал в $A_{i}$,то в последовательности из $0$ и $1$ на месте с номером $j$ стоит единица, иначе ноль.
В результате получится, например, такая таблица $r\times N$:
  1. $A_1: 110..01$
  1. $A_2: 101..11$
$\qquad$. . . . .
  1. $A_r: 001..10$
Тогда, если в $l-$ом $~(1\le l\le N)$ столбце есть хотя бы один ноль, то $\exists A_{m}~(1\le m\le r): a_{l}\not\in A_{m}$, следовательно, $a_{l}\not\in A_{1}\cap A_{2}...\cap A_{r}$.
Тогда $\{|A_{1}\cap A_{2}...\cap A_{r}|=k\}$=$\{$в $k$ столбцах сплошные единицы$\}$. Поэтому,
$P\{|A_{1}\cap A_{2}...\cap A_{r}|=k\}=P\{$в $k$ столбцах сплошные единицы$\}$$=\binom{N}{k}p^{rk}(1-p^r)^{N-k}$
  1. b)В этом пункте возникли определенные трудности. Хочется использовать следующее соотношение:
    $P\{\bigcap\limits_{i=1}^r \overline{A_{i}}\}=P\{\overline{\bigcup\limits_{i=1}^r A_{i}}\}=1-P\{\bigcup\limits_{i=1}^r A_{i}\}$
откуда следует, что $P\{\bigcup\limits_{i=1}^r A_{i}\}=1-P\{\bigcap\limits_{i=1}^r \overline{A_{i}}\}$. Не могу понять как интерпретировать $P\{\bigcap\limits_{i=1}^r \overline{A_{i}}\}$ в духе пункта а). В этом, собственно, и вопрос. Буду благодарен за помощь.
# 29 Сен 2019 19:18:35
Evgeniy

$P\left\{\bigcup\limits_{i=1}^r A_{i}\right\}=1-P\left\{\overline{\bigcup\limits_{i=1}^r A_{i}}\right\} = 1-P\left\{\bigcap\limits_{i=1}^r \overline{A_{i}}\right\}$

Используется соотношение для вероятности противоположного события $P(A)+P(\overline{A})=1$
и формула де-Моргана $\overline{\bigcup\limits_{i=1}^r A_{i}}=\bigcap\limits_{i=1}^r \overline{A_{i}}$
# 29 Сен 2019 19:30:34
sol
Не могу понять как интерпретировать $P\{\bigcap\limits_{i=1}^r \overline{A_{i}}\}$ в духе пункта а). В этом, собственно, и вопрос.
# 29 Сен 2019 20:34:46
Evgeniy

Извиняюсь, невнимательно прочитал вопрос.
Первое, что приходит в голову. Если множеству $A_i$ соответствует, к примеру, последовательность $01011...01$, то множеству $\overline{A_i}$ соответствует последовательность $10100...10$, то есть $0$ заменены на $1$, и наоборот. Элемент $a_j$ попадает в множество $\overline{A_i}$ с вероятностью $1-p$ и с вероятностью $p$ не попадает. Может, от этого отталкиваться.
# 29 Сен 2019 20:42:31
sol
Мне нравится Ваш подход. Завтра попробую посчитать. Спасибо!
# 30 Сен 2019 08:23:59
sol
Таким образом, выходит, что $P\{|A_{1}\cup A_{2}...\cup A_{r}|=k\}=1-P\{|\bigcap\limits_{i=1}^r \overline{A_{i}}|=k\}=1-\binom{N}{k}q^{rk}(1-q^r)^{N-k}$.
Но ответ в задачнике иной: $P\{|A_{1}\cup A_{2}...\cup A_{r}|=k\}=\binom{N}{k}q^{r(N-k)}(1-q^r)^{k}$
# 30 Сен 2019 17:06:36
Evgeniy

Если $|X \cup \overline{X}|=N$, то $\{|X|=k\} = \{|\overline{X}|=N-k\}$.
Поэтому
$\left\{\left|\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i\right|=k\right\} = \left\{\left|\overline{\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i}\right|=N-k\right\}= \left\{\left|\bigcap\limits_{i=1}^{n}\overline{A_i}\right|=N-k\right\}$
# 30 Сен 2019 18:27:52
sol
Ошибку с показателями степеней понял. Но проблема с единицей осталась:
$P\{|A_{1}\cup A_{2}...\cup A_{r}|=k\}=1-\binom{N}{k}q^{r(N-k)}(1-q^r)^{k}$ - мой ответ;
$P\{|A_{1}\cup A_{2}...\cup A_{r}|=k\}=\binom{N}{k}q^{r(N-k)}(1-q^r)^{k}$ - автора задачника(верный).
# 30 Сен 2019 18:40:49
Evgeniy

Единица уже не нужна, потому что не используем противоположное событие, используем только дополнение к множеству $P\{|A_{1}\cup A_{2}...\cup A_{r}|=k\}=P\{|\overline{A_{1}\cup A_{2}...\cup A_{r}}|=N-k\}=P\{|\overline{A_{1}}\cap \overline{A_{2}}...\cap \overline{A_{r}}|=N-k\}=\binom{N}{k}q^{r(N-k)}(1-q^r)^{k}$.
# 2 Окт 2019 03:07:32
sol
Я разобрался, с Вашей помощью. Спасибо!
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.