x, y, z

Представление вещественных чисел в q-ой позиционной системе счисления

# 18 Июл 2019 22:29:13
Evgeniy

Представление вещественных чисел в $q$-ой позиционной системе счисления обосновывается следующим образом.

Пусть $q>1$.

Для любого вещественного числа $x>0$ найдется целое число $p$ такое, что
$q^{p}\le x < q^{p+1}$.
Целое число $p$ называется порядком числа $x$ в $q$-ой системе счисления.

Далее по аксиоме Архимеда найдется целое число $a_p$ такое, что
$a_pq^{p}\le x < (a_p+1)q^{p}$.
Покажем, что $a_p >0$. Действительно, если допустить противное $a_p \le 0$, то получим $x < (a_p+1)q^{p} \le q^{p}$, что противоречит неравенству $q^{p}\le x$.

Покажем, что $a_p < q$. Действительно, если допустить противное $a_p \ge q$, то получим $q^{p+1} \le a_pq^{p}\le x$, что противоречит неравенству $x < q^{p+1}$.

Таким образом, имеем $0<a_p<q$.

Также имеем $0\le x - a_pq^{p} < q^{p}$.

Далее для числа $x - a_pq^{p}$ по принципу Архимеда найдется целое число $a_{p-1}$ такое, что
$a_{p-1}q^{p-1}\le x - a_pq^{p} < (a_{p-1}+1)q^{p-1}$.
Покажем, что $a_{p-1} \ge 0$. Действительно, если допустить противное $a_{p-1} < 0$, то получим $x - a_pq^{p} < (a_{p-1}+1)q^{p-1} \le 0$, что противоречит неравенству $0\le x - a_pq^{p}$.

Покажем, что $a_{p-1} < q$. Действительно, если допустить противное $a_{p-1} \ge q$, то получим $q^{p} \le a_{p-1}q^{p-1}\le x - a_pq^{p}$, что противоречит неравенству $x - a_pq^{p}<q^{p}$.

Таким образом, имеем $0\le a_{p-1}<q$.

Продолжая так по аналогии, получим конечную, если на каком-то шаге $r_n=x$, или бесконечную последовательность $r_n$ такую, что
$r_n = a_{p}q^{p}+a_{p-1}q^{p-1}+\dots+a_{p-n}q^{p-n}$

$0<a_{p}<q,\quad 0\le a_{p-n}<q$

$r_n \le x < r_n+q^{p-n}$

$0 \le x - r_n < q^{p-n}$
Из этого следует, что $r_n \to x$ и $r_n+q^{p-n} \to x$ при $n\to+\infty$.

Покажем, что в последовательности цифр $a_{p},a_{p-1},\dots, a_{p-n},\dots$ в конце не может быть бесконечно много наибольших цифр (при $q=10$ наибольшая цифра $q-1=9$). Допустим противное: все цифры, после $a_{p-n}$, равны $w$, где $w$ наибольшая цифра, т.е. $w\ge q-1$. Тогда получим
$r_n = a_{p}q^{p}+a_{p-1}q^{p-1}+\dots+a_{p-n}q^{p-n}+wq^{p-n-1}+\dots+wq^{p-n-m}$,
откуда
$$r_{n+m}-r_{n}=wq^{p-n-1}+\dots+wq^{p-n-m}=wq^{p-n}\left( \frac{1}{q}+\dots+\frac{1}{q^m} \right)$$.
Переходя к пределу при $m\to+\infty$, с одной стороны имеем
$$\lim_{m\to+\infty}r_{n+m}-r_{n}=x-r_{n}<q^{p-n}$$,
с другой стороны
$$\lim_{m\to+\infty}r_{n+m}-r_{n}= \lim_{m\to+\infty}wq^{p-n}\left( \frac{1}{q}+\dots+\frac{1}{q^m} \right) = wq^{p-n}\lim_{m\to+\infty}\left( \frac{1}{q}+\dots+\frac{1}{q^m} \right)= \frac{w}{q-1}q^{p-n} \ge q^{p-n}$$.
Получили противоречие, которое доказывает утверждение.

Всякому вещественному числу $x>0$ соответствует единственная конечная или бесконечная последовательность цифр $a_{p},a_{p-1},\dots, a_{p-n},\dots$, причем в последовательности не может быть бесконечно много идущих подряд наибольших цифр. Единственность следует из однозначности алгоритма. Для обозначения порядка $p$, условились после $a_0$ ставить запятую.

Обратно, всякой последовательности цифр $a_{p},a_{p-1},\dots, a_{p-n},\dots$, где $0<a_{p}<q,\quad 0\le a_{p-n}<q$, соответствует единственное вещественное число $$x=\sum_{i=0}^{+\infty}a_{p-i}q^{p-i}$$. Единственность следует из единственности предела. Существование следует из того, что всякий ряд $$\sum_{i=0}^{+\infty}a_{p-i}q^{p-i}$$ сходится, поскольку его частичные суммы не убывают и ограничены сверху
$$\sum_{i=0}^{n}a_{p-i}q^{p-i} \le \sum_{i=0}^{n}wq^{p-i} = wq^{p}\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{q^i}\le wq^{p}\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{1}{q^i} = \frac{wq^{p+1}}{q-1}$$,
где $w$ — наибольшая возможная цифра.

Итак, всякому вещественному числу $x>0$ взаимнооднозначно соответствует конечная или бесконечная последовательность цифр $a_{p},a_{p-1},\dots, a_{p-n},\dots$, причем в последовательности не может быть бесконечно много идущих подряд наибольших цифр.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.