x, y, z

Как найти предел?

# 15 Июл 2019 20:53:10
Neznayka
$$\lim_{n\to\infty} \left( \frac{2n-5}{2n+3} \right)^{4n-5}$$
# 16 Июл 2019 01:05:13
Sheldon

Имеем $\frac{2n-5}{2n+3}= 1+\frac{-8}{2n+3} \to 1$ и $4n-5\to \infty$ при $n\to\infty$, поэтому искомый предел — это неопределенность типа $1^{\infty}$.

Преобразуем выражение под знаком предела так, чтоб применить второй замечательный предел $\lim\limits_{x\to\infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x}=e$.

$$$$ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{2n-5}{2n+3} \right)^{4n-5} = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{2n+3-8}{2n+3} \right)^{4n-5} = \lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{-8}{2n+3} \right)^{-\frac{2n+3}{8} \left( -\frac{8}{2n+3} \right) (4n-5) } =\\ = \left(\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{-8}{2n+3} \right)^{-\frac{2n+3}{8}} \right)^{\lim\limits_{n\to\infty} \left(-\frac{8(4n-5)}{2n+3}\right) } = \left(\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{1}{-\frac{2n+3}{8}} \right)^{-\frac{2n+3}{8}} \right)^{\lim\limits_{n\to\infty} \left(-\frac{8(4n-5)}{2n+3}\right) } = \\ = \left(\lim_{t\to\infty} \left( 1+\frac{1}{t} \right)^{t} \right)^{\lim\limits_{n\to\infty} \left(-\frac{8(4n-5)}{2n+3}\right) } = e^{\lim\limits_{n\to\infty} \left(-\frac{8(4n-5)}{2n+3}\right) } = e^{-16} $$$$

Примечание 1. На последнем шаге:

$$\lim\limits_{n\to\infty} \left(-\frac{8(4n-5)}{2n+3}\right) = -\lim\limits_{n\to\infty} \frac{32n-40}{2n+3}= -\lim\limits_{n\to\infty} \frac{32-\frac{40}{n}}{2+\frac{3}{n}}= -\frac{32}{2}=-16$$.

Примечание 2. Переход

$$\lim\limits_{n\to\infty} \left( 1+\frac{-8}{2n+3} \right)^{-\frac{2n+3}{8} \left( -\frac{8}{2n+3} \right) (4n-5) } = \left(\lim\limits_{n\to\infty} \left( 1+\frac{-8}{2n+3} \right)^{-\frac{2n+3}{8}} \right)^{\lim\limits_{n\to\infty} \left(-\frac{8(4n-5)}{2n+3}\right) }$$

возможен по правилу $$\lim\limits_{x\to a} u(x)^{v(x)}=\left(\lim\limits_{x\to a} u(x)\right)^{\lim\limits_{x\to a} v(x)}$$, которое следует из непрерывности показательной функции и логарифма.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.