x, y, z

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

# 11 Мая 2019 14:15:42
Паша
Всем привет. Дали задание исследовать на экстремум функцию двух переменных $f(x,y)=2x^2-5xy+2y^3-3x+4y$. Пропустил эту тему. Подскажите, как это вообще делать?
# 12 Мая 2019 12:31:49
Sheldon

Необходимое условие экстремума — равенство нулю частных производных. Находим частные производные и приравниваем к нулю:

$\left\{\begin{aligned} &\tfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=4x-5y-3=0 \\ &\tfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=-5x+6y^2+4=0 \end{aligned}\right.$

Сложив первое уравнение системы, умноженное на $-5$, со вторым, умноженным на $4$, получим квадратное уравнение: $24y^2-25y+1=0$. Его корни: $y=1$ и $y=\tfrac{1}{24}$.

Из первого уравнения системы $x=\tfrac{1}{4}(5y+3)$.

Получаем решение системы: $(2,1)$ и $\left(\tfrac{77}{96},\tfrac{1}{24}\right)$ — точки подозрительные на экстремум.

Найдем производные второго порядка:

$\frac{\partial f^2(x,y)}{\partial x^2}=4,\quad \frac{\partial f^2(x,y)}{\partial x \partial y}=-5,\quad \frac{\partial f^2(x,y)}{\partial y^2}=12y$.

Составим из них матрицу-Гессиан:

$H(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial f^2(x,y)}{\partial x^2} & \frac{\partial f^2(x,y)}{\partial x \partial y}\\ \frac{\partial f^2(x,y)}{\partial x \partial y} & \frac{\partial f^2(x,y)}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -5\\ -5 & 12y \end{pmatrix}$

Найдем главные миноры Гессиана в точке $(2,1)$:

$\Delta_1(2,1)=4,\quad \Delta_2(2,1)=\begin{vmatrix}4 & -5\\-5 & 12\cdot 1\end{vmatrix}=12\cdot 4-(-5)(-5)=23$.

Все главные миноры положительные, поэтому по критерию Сильвестра матрица-Гессиан положительно определена и в точке $(2,1)$ достигается локальный минимум $f(2,1)=-2$.

Найдем главные миноры Гессиана в точке $\left(\tfrac{77}{96},\tfrac{1}{24}\right)$:

$\Delta_1\left(\tfrac{77}{96},\tfrac{1}{24}\right)=4,\quad \Delta_2\left(\tfrac{77}{96},\tfrac{1}{24}\right)=\begin{vmatrix} 4 & -5\\ -5 & 12\cdot \tfrac{1}{24}\end{vmatrix}=4\cdot \tfrac{1}{2}-(-5)(-5)=-23$.

Главные миноры знакочередуются, но $\Delta_1>0$, поэтому по критерию Сильвестра матрица-Гессиан знаконеопределена в точке $\left(\tfrac{77}{96},\tfrac{1}{24}\right)$, поэтому в этой точке нет экстремума, это седловая точка.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.