x, y, z

Математики приблизили кота множествами Жюлиа

# 2 Мая 2019 11:26:14
forany.xyz

Множество Жюлиа в форме кота
Множество Жюлиа в форме кота

Математики доказали, что произвольная замкнутая фигура на плоскости может быть сколь угодно близко приближена множеством Жюлиа для подходящего многочлена. Среди прочего, в качестве демонстрации собственной техники, ученым удалось построить достаточно хорошее приближение силуэта кота. Препринт статьи доступен на сайте arXiv.org.

Понятие Множество Жюлиа относится к фрактальной геометрии и определяется следующим образом. Многочлен от одного комплексного переменного $f(z)$ можно рассматривать как отображение комплексной плоскости в себя. Любая точка $z$ комплексной плоскости имеет свой характер поведения (остается конечной, стремится к бесконечности, принимает фиксированные значения) при итерациях функции $f(z)$, а вся плоскость делится на части. При этом точки, лежащие на границах этих частей, обладают таким свойством: при сколь угодно малом смещении характер их поведения резко меняется (такие точки называют точками бифуркации). При этом множества точек, имеющих один конкретный тип поведения, а также множества бифуркационных точек часто имеют фрактальные свойства. Это и есть множества Жюлиа для функции $f(z)$.

Наиболее известны множества Жюлиа для многочленов второй степени вида $f(z)=z^2+c$. Такие множества связаны с множеством Мандельброта, которое определяется как множество точек $c$ на комплексной плоскости, для которых последовательность $z_n$, определяемая итерациями $z_0 = 0, z_1 = z_0^2 + c, \dots, z_{n+1} = z_n^2 + c$, конечна (то есть не уходит в бесконечность).

Множества Жюлиа для полинома f(z)=z^2+c при изменении c.
Множества Жюлиа для полинома $f(z)=z^2+c$ при измерении $c$.

В рамках новой работы ученые интересовались вопросом: насколько сложно может быть устроена граница множества Жюлиа? В результате им удалось доказать следующую теорему: для произвольной замкнутой (то есть начало совпадает с концом) жордановой (то есть непрерывной, которую можно параметризовать отрезком) кривой без самопересечений и сколь угодно тонкой полосы вокруг этой кривой можно найти такое множество Жюлиа, что его граница целиком лежит в этой полосе.

Более того, математики предложили метод явного нахождения нужного многочлена. В качестве демонстрации они, например, построили многочлен, для которого множество Жюлиа напоминает кошку. Степень полученного многочлена 301. По их словам, этот пример наглядно демонстрирует, что динамика полиномиальных (то есть задаваемых многочленами) динамических систем может быть устроена максимально разнообразно. Они говорят, что предложенный ими пример будет полезен в теории таких систем.

Также ученые рассмотрели рациональные функции — то есть отношение двух многочленов. Используя такие функции как отображение комплексной плоскости в себя, они смогли доказать, что аналогичные рациональные множества Жюлиа сколь угодно близко приближают произвольную пару жордановых кривых, одна из которых лежит внутри другой. Исследователи подчеркивают, что вопрос, связанный с большим количеством кривых, пока не решен.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.