x, y, z

Доказать неограниченность функции

# 25 Апр 2019 19:14:45
sol
В качестве примера функции, определенной на $$\left[0;1\right]$$, но неограниченной на любом
$$\left[\alpha;\beta\right]\subset\left[0;1\right]$$, приводится следующая функция:
$$f(x)= \left\{ \begin{aligned} n,~& \text{если}~~ x=\frac{m}{n},~ m~ \text{и}~ n~ \text{взаимно простые}; \\ 0,~& \text{если}~~ x ~~\text{иррационально}. \end{aligned} \right.$$
Я хочу доказать, что на самом деле $$f(x)$$ неограниченна на любом $$\left[\alpha;\beta\right]\subset\left[0;1\right]$$.

Мне нужно показать, что
$$\forall ~A\in\mathbb{R} ~\exists~x_{0}\in \left[\alpha;\beta\right] : |f(x_{0})|>A$$
У меня получается гарантировать для произвольного $$A$$, что $x_{0}\in\left[0;1\right]$, но я не понимаю как привязать $x_{0}$ к подотрезку.
# 25 Апр 2019 20:47:39
Evgeniy

Можно выбрать $n$ настолько большим, что $n>A$ и $$\frac{1}{n}<\beta-\alpha$$.
По принципу Архимеда для любых чисел $$\frac{1}{n}>0$$ и $\alpha$ найдется натуральное число $m$ такое, что
$$\frac{1}{n}(m-1)\le \alpha < \frac{1}{n}m$$.
Из неравенств $$\frac{1}{n}(m-1)=\frac{m}{n}-\frac{1}{n}\le \alpha$$ и $$\frac{1}{n}<\beta-\alpha$$ следует, что $$\frac{m}{n}<\beta$$.
Нашли число $$x_0=\frac{m}{n}\in (\alpha,\beta)$$ такое, что $f(x_0)=n>A$.
# 25 Апр 2019 20:59:45
sol
Всё понял, спасибо!
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.