x, y, z

Доказать, что функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций

# 18 Апр 2019 19:20:34
sol
Функция f определена на симметричном промежутке (-l;l). Доказать, что её можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Док-во.
$f(x)=f(x)\pm f(x) \pm f(-x)\quad \Leftrightarrow\quad 2f(x)=(f(x)+f(-x))+(f(x)-f(-x)) \quad \Leftrightarrow\quad f(x)=\frac {f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$
Пусть $h(x)=\frac {f(x)+f(-x)}{2}$ и $g(x)=\frac {f(x)-f(-x)}{2}$. Видно, что $h(x)~-~$четная, а $g(x)~-~$нечетная.

Утверждение доказано, но я не понял, зависит ли что-нибудь от слов:
на симметричном промежутке (-l;l)
Может быть кто-то подскажет..
# 18 Апр 2019 21:14:00
Evgeniy

Чтоб говорить о четности/нечетности какой-либо функции, она должна быть определена на симметричном промежутке. Симметричность нужна для того, чтобы вместе с $f(x)$ была определена и $f(-x)$, то есть всякий $x$ должен входить в область определения $f$ вместе с $-x$, а это возможно только при симметричном промежутке.
# 21 Апр 2019 21:19:22
sol
Спасибо, разобрался.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.