x, y, z

Как найти интеграл?

# 11 Апр 2019 12:53:18
Serg_N
Помогите найти интеграл $\int_0^1 x^2\sin\pi x\,dx$
# 11 Апр 2019 16:17:52
Sheldon

По частям

$$\int x^2\sin ax\,dx = \left | u=x^2,\ dv=\sin ax\,dx \atop du=2xdx,\ v=-\frac{1}{a}\cos ax\right|= -\frac{1}{a}x^2\cos ax + \frac{2}{a}\int x\cos ax\,dx$$

Последний снова по частям

$$\int x\cos ax\,dx = \left | u=x,\ dv=\cos ax\,dx \atop du=dx,\ v=\frac{1}{a}\sin ax\right|= \frac{1}{a}x\sin ax - \frac{1}{a}\int \sin ax\,dx = \frac{1}{a}x\sin ax + \frac{1}{a^2}\cos ax$$

В итоге

$$\int x^2\sin ax\,dx = -\frac{1}{a}x^2\cos ax + \frac{2}{a}\left( \frac{1}{a}x\sin ax + \frac{1}{a^2}\cos ax \right)= -\frac{1}{a}x^2\cos ax + \frac{2}{a^2}x\sin ax + \frac{2}{a^3}\cos ax + C$$

В данном случае $a=\pi$, поэтому

$$F(x)=\int x^2\sin \pi x\,dx = -\frac{1}{\pi}x^2\cos \pi x + \frac{2}{\pi^2}x\sin \pi x + \frac{2}{\pi^3}\cos \pi x$$

По формуле Ньютона-Лейбница

$$\int_0^1 x^2\sin \pi x\,dx = F(1)-F(0) = \left(\frac{1}{\pi} - \frac{2}{\pi^3}\right)- \frac{2}{\pi^3} = \frac{1}{\pi} - \frac{4}{\pi^3}$$
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.