x, y, z

Что такое o-малое и O-большое

# 9 Апр 2019 15:29:52
Evgeniy

Определение 1. Говорят, что функция $f(x)$ есть о-малое от $g(x)$ при $x\to x_0$, записывая это как $f(x)=o(g(x))$ при $x\to x_0$, если в некоторой окрестности $U(x_0)$ верно равенство $f(x)=\alpha(x)g(x)$, где $где \alpha(x)$ — бесконечно малая при $x\to x_0$.

Примечание. Данное определение задает целый класс функций, обладающих такими свойствами, поэтому правильнее было бы писать не $f(x)=o(g(x))$, а $f(x)\in o(g(x))$, но исторически сложилась традиция писать равенство.

Утверждение 2. $f(x)=o(g(x))$ при $x\to x_0$ тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon>0$ найдется окрестность $U(x_0)$ такая, что для любого $x\in U(x_0)$ верно неравенство $|f(x)|\le \varepsilon|g(x)|$.

Доказательство.

Пусть $f(x)=o(g(x))$ при $x\to x_0$ в смысле первого определения, то есть в некоторой окрестности $U(x_0)$ верно равенство $f(x)=\alpha(x)g(x)$, где $\alpha(x)$ — бесконечно малая при $x\to x_0$. Так как $\alpha(x)$ бесконечно малая, то для любого $\varepsilon>0$ найдется окрестность $U'(x_0)\subseteq U(x_0)$ такая, что для любого $x\in U(x_0)$ верно $|\alpha(x)|<\varepsilon$, а следовательно в этой окрестности верно неравенство $|f(x)|=|\alpha(x)|\cdot|g(x)|\le \varepsilon|g(x)|$.

Обратно, пусть для любого $\varepsilon>0$ найдется окрестность $U(x_0)$ такая, что для всех $x\in U(x_0)$ верно выполняется неравенство $|f(x)|\le \varepsilon|g(x)|$. Из этого неравенство следует, что $f(x)=0$, если $g(x)=0$. Определим функцию
$\alpha(x)= \begin{cases} 0, & g(x)=0,\\ \frac{f(x)}{g(x)}, & g(x)\ne 0. \end{cases}$
Нетрудно проверить, что верно равенство $f(x)=\alpha(x)g(x)$, причем $\alpha(x)$ — бесконечно малая при $x\to x_0$.

Определение 3. Говорят, что функция $f(x)$ есть О-большое от $g(x)$ при $x\to x_0$, записывая это как $f(x)=O(g(x))$ при $x\to x_0$, если в некоторой окрестности $U(x_0)$ верно равенство $f(x)=\beta(x)g(x)$, где $\beta(x)$ — ограниченная в $U(x_0)$.

Утверждение 4. $f(x)=O(g(x))$ при $x\to x_0$ тогда и только тогда, когда найдется окрестность $U(x_0)$ и константа $C$ такие, что для всех $x\in U(x_0)$ верно неравенство $|f(x)|\le C|g(x)|$.

Доказательство.

Пусть $f(x)=O(g(x))$ при $x\to x_0$ в смысле первого определения, то есть в некоторой окрестности $U(x_0)$ верно представление $f(x)=\beta(x)g(x)$, где $\beta(x)$ — ограниченная в $U(x_0)$. Так как $\beta(x)$ ограниченная в $U(x_0)$, то найдется константа $C$ такая, что для любого $x\in U(x_0)$ верно $|\beta(x)|<C$, а следовательно в этой окрестности верно неравенство $|f(x)|=|\beta(x)|\cdot|g(x)|\le C|g(x)|$.

Обратно, пусть есть окрестность $U(x_0)$ и константа $C$ такие, что для всех $x\in U(x_0)$ верно неравенство $|f(x)|\le C|g(x)|$. Из этого неравенство следует, что $f(x)=0$, если $g(x)=0$. Определим функцию
$\beta(x)= \begin{cases} 0, & g(x)=0,\\ \frac{f(x)}{g(x)}, & g(x)\ne 0. \end{cases}$
Нетрудно проверить, что верно равенство $f(x)=\beta(x)g(x)$, причем $\beta(x)$ — ограниченная в $U(x_0)$.

Определение 5. Говорят, что функция $f(x)$ эквивалентна $g(x)$ при $x\to x_0$, записывая это как $f(x)\sim g(x)$ при $x\to x_0$, если в некоторой окрестности $U(x_0)$ верно равенство $f(x)=\gamma(x)g(x)$, где $\gamma(x)\to 1$ при $x\to x_0$.

Примеры

$x^2=o(x)$ при $x\to 0$.

$x=o(x^2)$ при $x\to +\infty$.

$x^n=o(e^x)$ при $x\to +\infty$ (при любом $n$).

$x^2=O(2x^2+3x-1)$ при $x\to +\infty$.

$$\frac{\sin x}{x}=O\left(\frac{1}{x}\right)$$ при $x\to +\infty$.

$$\frac{\sin x}{x}\sim x$$ при $x\to 0$.

$e^x-1\sim x$ при $x\to 0$.

$\ln(x+1)\sim x$ при $x\to 0$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.