x, y, z

Помогите извлечь корень из комплексного числа

# 19 Сен 2018 14:00:24
Саша
Помогите извлечь корень $\sqrt[3]{2-2i}$
# 19 Сен 2018 17:50:25
Evgeniy

Пусть $\xi = \sqrt[n]{z}$, что равносильно $\xi^n = z$.

Представим оба числа в тригонометричсекой форме

$$$z=r(\cos \varphi + i\sin \varphi),\\ \xi=\rho(\cos \psi + i\sin \psi).$$$

Тогда по формуле Муавра получим

$$\bigl[\rho(\cos \psi + i\sin \psi)\bigr]^n = \rho^n(\cos n\psi + i\sin n\psi) = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$$,

что равносильно системе

$\left\{\begin{aligned} &\rho^n = r, \\ &n\psi = \varphi + 2\pi k, \ k\in\mathbb{Z}, \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &\rho = \sqrt[n]{r}, \\ &\psi = \frac{\varphi + 2\pi k}{n}, \ k\in\mathbb{Z}, \end{aligned}\right.$

При $k=0,...,n-1$ получаем различные значения $\xi$.

Таким образом, если

$z=r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$,

то

$$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right), \ k=0,...,n-1$$.

В данном случае

$$2-2i = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} +i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$,

$$\sqrt[3]{2-2i} = \sqrt[3]{2\sqrt{2}}\left(\cos \frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{3} + i\sin \frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{3} \right) = \sqrt[3]{2\sqrt{2}}\left(\cos \left(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} k\right) + i\sin \left(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} k\right) \right), \ k=0,...,n-1$$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.