x, y, z

Как возвести в степень комплексное число?

# 18 Сен 2018 21:49:06
Саша
Как решить такой пример $(1+i)^{25}$?
# 18 Сен 2018 22:13:03
Evgeniy

Нужно представить число в тригонометрической форме и воспользоваться формулой Муавра

$$\bigl[r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\bigr]^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$$.

$$1+i = \sqrt2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$.

$$$$(1+i)^{25} = (\sqrt2)^{25}\left(\cos \frac{25\pi}{4}+i\sin \frac{25\pi}{4}\right) = 2^{12}\sqrt2\left(\cos \left(6\pi+\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(6\pi+\frac{\pi}{4}\right)\right) = \\ = 2^{12}\sqrt2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right) = 2^{12}(1+i). $$$$
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.