x, y, z

Линейное пространство магических квадратов и его базис

# 30 Июл 2018 15:57:45
Evgeniy

Квадратная матрица называется полумагической (полумагическим квадратом), если суммы коэффициентов в каждой строке и в каждом столбце матрицы совпадают. Если к тому же эти суммы совпадают с суммами коэффициентов по диагоналям, то матрица называется магической (магическим квадратом).

Множество полумагических и магических квадратов образуют конечномерное линейное пространство. Действительно, например, сумма магических квадратов — магический квадрат, при умножении магического квадрата на константу также получается магический квадрат. Можно найти базис этого линейного пространства и параметризовать их.

Пример 1. Для простоты сначала рассмотрим полумагические квадраты размером 2×2, в которых равны суммы элементов по столбцам и по строкам. Базис состоит из двух квадратов:
$E_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad E_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
Всякий полумагический квадрат $A$ размером 2×2 является их линейной комбинацией
$A=aE_1+bE_2 = a\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$.
Пример 2. Рассмотрим полумагические квадраты размером 3×3. Базис состоит из пяти квадратов:
$E_1=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\quad E_2=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\quad E_3=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix},\quad E_4=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix},\quad E_5=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
Всякий полумагический квадрат $A$ размером 3×3 является их линейной комбинацией
$A = aE_1 + bE_2 + cE_3 + dE_4 + sE_5 = \begin{bmatrix} a+b+c+d-s & -a-c+s & -b-d+s \\ -a-b+s & a & b \\ -c-d+s & c & d \end{bmatrix}$.
Подобным образом можно исследовать квадраты любых размеров.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.