x, y, z

Почему аксиомы группы и кольца именно такие?

# 23 Июл 2018 16:13:16
Evgeniy

Интуиция подсказывает, что основные структуры в математике должны быть исключительными и математически красивыми. В математике повсюду встречаются группы и кольца, а также их частные случай и расширения — поля, линейные пространства, алгебры. Но почему именно эти структуры? Чем уникальны наборы аксиом группы и кольца? .

Самая основная структура в математике — это множество. Трудно найти что-то более фундаментальное. Группа естественным образом появляется как семейство биекций множества $X$ в себя с операцией композиция, определенной так $(f\circ g)(x)=f(g(x))$, где $x\in X$. И обратно, всякая группа является множеством биекций некоторого множества в себя. Можно заметить, что биекции сохраняют мощность множества. Можно сказать, что группа — это семейство преобразований множества, которое сохраняет его основное структурное свойство — мощность.

В свою очередь, всякое кольцо является кольцом эндоморфизмов (гомоморфизмов в себя) некоторой коммутативной (абелевой) группы $(G,+)$. А именно, кольцевое произведение — это композиция эндоморфизмов группы $(\psi\circ\varphi)(g)=\psi(\varphi(g))$, где $g\in G$, а кольцевое сложение — сумма эндоморфизмов $(\varphi\oplus \psi)(g)=\varphi(g)+\psi(g)$, где $g\in G$. Можно проверить, что множество эндоморфизмов с такими операциями удовлетворяет аксиомам кольца. Можно сказать, что кольцо — это семейство преобразований группы, которое сохраняет основное структурное свойство группы — ее операцию.

Можно спросить, почему рассматривают автоморфизмы только коммутативной группы. Дело в том, что если группа не коммутативная, то сумма эндоморфизмов не всегда является эндоморфизмом.

Таким образом, каждая следующая структура возникает как семейство преобразований предыдущей, которые сохраняют ее основные структурные свойства.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.