x, y, z

Помогите найти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

# 7 Июл 2018 02:02:18
Alena
Доброго времени суток всем. Пожалуйста, пмогите найти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными $(e^x+8) dy - ye^x dx = 0$
# 7 Июл 2018 10:58:34
Sheldon
Нужно привести уравнение к виду
$$ g(y)dy = f(x)dx. $$
Приводим
$$ \frac{1}{y}\,dy = \frac{e^x}{e^x+8}\,dx. $$
Можно так записать (это одно и то же)
$$ \frac{dy}{y} = \frac{e^xdx}{e^x+8}. $$
Заметим, что мы потеряли решение $y(x)=0$ при делении исходного уравнения на $y$. Учтем это в конце.

Находим несобственный интеграл от обеих частей равенства
$$ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{e^xdx}{e^x+8}. $$
Так как
$%\begin{gather*} \int \frac{e^xdx}{e^x+8} = \int \frac{d(e^x)}{e^x+8} = \int \frac{d(e^x+8)}{e^x+8} = \ln|e^x+8| + C_1, \\ \int \frac{dy}{y} = \ln|y| + C_2. \end{gather*}%$
то получаем
$$ \ln|y| = \ln|e^x+8| + C_0. $$
Это уравнение равносильно следующему
$$ e^{\ln|y|} = e^{\ln|e^x+8| + C_0}, $$
откуда
$$ |y| = |e^x+8|\cdot e^{C_0}, $$
Можно раскрыть модули
$$ y = \pm e^{C_0} (e^x+8), $$
Обозначая константы $e^{C_0}>0$ или $-e^{C_0}<0$ одной буквой $C$, а также допуская значение $C=0$,
тем самым добавляя потерянное вначале решение $y=0$ при делении на $y$, окончательно получим общее решение
$$ y(x) = C(e^x+8). $$
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.