x, y, z

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

# 3 Июл 2018 22:00:07
Sonya
Помогите вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость $$\int\limits_{0}^{+\infty} xe^{-x^2}dx$$
# 4 Июл 2018 12:51:23
Sheldon
По определению
$$ \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{b\to+\infty}\int\limits_{a}^{b} f(x)dx $$.
Найдем наш интеграл.
$$ \int\limits_{0}^{b} xe^{-x^2}dx = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{b} e^{-x^2}d(x^2) = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{b^2} e^{-u}du = \frac{1}{2}(-e^{-u})\Big|_{0}^{b^2} = \frac{1}{2}(1-e^{-b^2}) $$.
Была сделана замена $u=x^2$. Когда $x$ меняется в пределах от $0$ до $b$, тогда $u=x^2$ меняется в пределах от $0$ до $b^2$.

Таким образом,
$$ \int\limits_{0}^{+\infty} xe^{-x^2}dx = \lim_{b\to+\infty}\int\limits_{0}^{b} xe^{-x^2}dx = \lim_{b\to+\infty} \tfrac{1}{2}(1-e^{-b^2}) = \tfrac{1}{2}(1 - 0) = \tfrac{1}{2} $$.
При вычислении предела использовали то, что $$ \lim_{x\to+\infty} e^{-x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{e^{x}} = \frac{1}{+\infty} = 0 $$.

Замечание. Можно было сначала найти несобственный интеграл
$$ \int xe^{-x^2}dx = \frac{1}{2} \int e^{-x^2}d(x^2) = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + C $$,
а потом воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница
$$ \int\limits_{0}^{b} xe^{-x^2}dx = \left(-\frac{1}{2}e^{-x^2}\right)\Big|_{0}^{b} = \frac{1}{2}(1-e^{-b^2}) $$.
# 5 Июл 2018 19:07:09
Sonya
А такой как?

$$ \int\limits_{1}^{3} \frac{3x}{\sqrt[3]{x^2-1}}\, dx. $$
# 5 Июл 2018 19:57:21
Sheldon
По такому же принципу.

Если $x=a$ особенная точка функции $f(x)$, тогда по определению
$$ \int\limits_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{c \to a + 0}\int\limits_{c}^{b} f(x)dx. $$
Здесь запись $c \to a + 0$ означает, что $c$ стремится к $a$ справа.

В данном случае особенная точка $x=1$, так как $$\frac{3x}{\sqrt[3]{x^2-1}} \to +\infty$$ при $x\to 1+0$.

По определению получаем
$$ \int\limits_{1}^{3} \frac{3x}{\sqrt[3]{x^2-1}}\, dx = \lim_{c \to 1 + 0}\int\limits_{c}^{3} \frac{3x}{\sqrt[3]{x^2-1}}\, dx. $$
# 5 Июл 2018 20:23:18
Sonya
Сначала нахожу несобственный интеграл

$%\begin{align*} \int \frac{3x}{\sqrt[3]{x^2-1}}\, dx = \frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^2-1}}\, d(x^2) = \frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^2-1}}\, d(x^2-1) = \\ = \frac{3}{2} \int (x^2-1)^{-\frac{1}{3}} d(x^2-1) = \frac{3}{2}\cdot \frac{(x^2-1)^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} = \frac{9}{4} (x^2-1)^{\frac{2}{3}} \end{align*}%$

Потом по формуле Ньютона-Лейбница

$$ \int\limits_{c}^{3} \frac{3x}{\sqrt[3]{x^2-1}}\, dx = \left.\frac{9}{4} (x^2-1)^{\frac{2}{3}}\right|_{c}^{3} = \frac{9}{4} (3^2-1)^{\frac{2}{3}} - \frac{9}{4} (c^2-1)^{\frac{2}{3}} = 9 - \frac{9}{4} (c^2-1)^{\frac{2}{3}}. $$

Как найти этот предел?

$$ \lim_{c \to 1 + 0} \left(9 - \tfrac{9}{4} (c^2-1)^{\frac{2}{3}} \right) $$
# 6 Июл 2018 23:54:49
Sheldon
$$ \int\limits_{1}^{3} \frac{3x}{\sqrt[3]{x^2-1}}\, dx = \lim_{c \to 1 + 0}\int\limits_{c}^{3} \frac{3x}{\sqrt[3]{x^2-1}}\, dx = \lim_{c \to 1 + 0} \left(9 - \tfrac{9}{4} (c^2-1)^{\frac{2}{3}} \right) = 9 - 0 = 9. $$

При вычислении предела использовали то, что $\dstyle \lim_{x\to 0} x^{\alpha} = 0$ при $\alpha>0$, в частности $\dstyle \lim_{x\to 0} x^{\frac{2}{3}} = 0$.

Кстати, на картинке геометрический смысл. Интеграл равен площади закрашенной области.

https://i.imgur.com/3r5J6f6.png
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.