x, y, z

Найти неопределенный интеграл, используя замену переменной или подведение функции под знак дифференциала

# 1 Июл 2018 00:44:22
Sonya
Нужно найти неопределенный интеграл $$\int\frac{2^{\frac{2}{x}}}{3x^2}\,dx$$, используя замену переменной или подведение функции под знак дифференциала. Как это делать?
# 1 Июл 2018 20:27:10
Sheldon
$$ \int \frac{2^{\frac{2}{x}}}{3x^2}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{(2^{2})^{\frac{1}{x}}}{x^2}\,dx = -\frac{1}{3}\int 4^{\frac{1}{x}}\, d\left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{3}\cdot \frac{4^{\frac{1}{x}}}{\ln 4} + C = -\frac{4^{\frac{1}{x}}}{3\ln 4} + C $$.
# 1 Июл 2018 20:34:18
Sonya
А почему $\int \frac{(2^{2})^{\frac{1}{x}}}{x^2}\,dx = -\int 4^{\frac{1}{x}}\, d\left( \frac{1}{x} \right)$?
# 1 Июл 2018 20:42:55
Sheldon
Воспользовались тем, что $$d\left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{x^2}dx$$. На последнем шаге использовали $$\int a^u du = \frac{a^u}{\ln a} + C$$.
# 2 Июл 2018 21:02:15
Sheldon
В выкладках есть некоторый мнемонический формализм. Если по честному, то утверждение такое.

Если $$\int f(x)dx=F(x)+C$$, тогда $$\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=F(\varphi(t))+C$$.
# 2 Июл 2018 21:08:06
Sonya
Теперь надо найти такой же интеграл, но определенный $$\int\limits_{1}^{2}\frac{2^{\frac{2}{x}}}{3x^2}\,dx$$. Это как делается?
# 2 Июл 2018 21:11:22
Sheldon
Используйте формулу Ньютона-Лейбница
$$ \int_a^b f(x)dx = F(x)\Big|_a^b = F(b)-F(a), $$
где $F$ — какая-нибудь первообразная $f$, то есть $\displaystyle \int f(x)dx = F(x)+ C$.
# 2 Июл 2018 23:55:57
Sonya
Так правильно?

$$ \int\limits_{1}^{2} \frac{2^{\frac{2}{x}}}{3x^2}\,dx = \left.-\frac{4^{\frac{1}{x}}}{3\ln 4}\right|_{1}^{2} = \left( -\frac{4^{\frac{1}{2}}}{3\ln 4}\right) - \left( -\frac{4^{\frac{1}{1}}}{3\ln 4} \right) = \frac{ 4^{1} - 4^{\frac{1}{2}} }{3\ln 4} = \frac{2}{3\ln 4}$$
# 3 Июл 2018 09:39:59
Sheldon
Все верно.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.