x, y, z

Как составить уравнения касательной и нормали к графику функции?

# 29 Июн 2018 19:30:56
Sonya
Здравствуйте. Нужно исследовать функцию $y = \frac{x^2+9}{x+4}$ методами дифференциального исчисления и построить график. Это я сделала. Но еще надо составить уравнения касательной и нормали, проведенных к графику данной функции в точке $x_0 = 1$. Как это делать?
# 29 Июн 2018 21:17:01
Sheldon

$$f'(x)=\left( \frac{x^2+9}{x+4} \right)' = \frac{(x^2+9)'(x+4) - (x^2+9)(x+4)'}{(x+4)^2} = \frac{2x(x+4) - (x^2+9)}{(x+4)^2} = \frac{x^2+8x-9}{(x+4)^2} = \frac{(x-1)(x+9)}{(x+4)^2}$$.

$f'(x)=0$ при $x=-9$ и $x=1$.
$f'(x)>0$ при $x\in(-\infty, -9)\cup(1,+\infty)$.
$f'(x)<0$ при $x\in(-9, -4)\cup(-4, 1)$.

Касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается уравнением
$$ y-f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0). $$
В нашем случае $x_0=1$, $f(x_0) = f(1) = 2$ и $f'(x_0)=0$, следовательно $y-2 = 0(x-1)$, то есть $y=2$.

Можно было рассуждать проще. Касательная проходит через точку $(x_0, y_0) = (1, 2)$. В точке $x_0=1$ производная $y'(x_0)=0$, касательная горизонтальная и задается уравнением $y=2$.

Найдем уравнение нормали к касательной, заданной уравнением $y=2$, в точке $(1, 2)$.

Для этого воспользуемся следующими двумя утверждениями.

1. Пусть прямая задана уравнением (это общее уравнение прямой)
$Ax+By+C=0$.
Тогда вектор $(A, B)$ является направляющим вектором ее нормали.

2. Прямая с направляющим вектором $(A, B)$, проходящая через точку $(x_0, y_0)$, имеет уравнение (каноническое уравнение прямой)
$$\frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B}$$.
В нашем случае общее уравнение касательной $0\cdot x+1\cdot y - 2 = 0$ и вектор $(0, 1)$ является направляющим вектором ее нормали. Следовательно, уравнение нормали
$$ \frac{x-1}{0} = \frac{y-2}{1}, $$
то есть $x-1 = 0$, или $x=1$. Как и ожидалось, нормаль есть вертикальная прямая, проходящая через точку $(1, 2)$.

Возможно, предполагается более простой путь. А именно, с помощью следующего утверждения.

Нормаль к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается уравнением
$$y-f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),\ \text{если}\ f'(x_0)\ne 0$$,
и уравнением
$$ x=x_0,\ \text{если}\ f'(x_0)= 0 $$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.