x, y, z

Как найти производную параметрически заданной функции?

# 23 Июн 2018 20:29:37
Sonya
Помогите найти производную параметрически заданной функции
$$ \left\{ \begin{aligned} &x(t) = 3^{\cos t} - t^{-2} \\ &y(t) = \sqrt[3]{\frac{t+1}{t-1}} \end{aligned} \right. $$
Если я правильно понимаю, здесь $y$ это функция от $x$?
# 23 Июн 2018 21:43:37
Sheldon

Если $x=x(t)$ и $y=y(t)$, тогда $$y'_x = \frac{y'_t}{x'_t}$$.

В нашем случае:
$%\begin{gather*} x'(t) = (3^{\cos t} - t^{-2})' = \ln 3\cdot 3^{\cos t}(-\sin t) + 2t^{-3}, \\ y'(t) = \left(\sqrt[3]{\frac{t+1}{t-1}} \right)' = \left( \left(\frac{t+1}{t-1}\right)^{1/3} \right)' = -\frac{2}{3}\left(\frac{t+1}{t-1}\right)^{1/3}\left(\frac{t+1}{t-1}\right)' = \\ = -\frac{2}{3}\left(\frac{t+1}{t-1}\right)^{1/3} \frac{(t+1)'(t-1)-(t+1)(t-1)'}{(t-1)^2} = -\frac{2}{3}\left(\frac{t+1}{t-1}\right)^{1/3}\cdot \frac{-2}{(t-1)^2} = \frac{4(t+1)^{1/3}}{3(t-1)^{7/3}}. \end{gather*}%$
В итоге

$$y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{4(t+1)^{1/3}}{3(t-1)^{7/3}(\ln 3\cdot 3^{\cos t}(-\sin t) + 2t^{-3})}$$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.