x, y, z

Как найти производную неявной функции?

# 23 Июн 2018 11:44:01
Sonya
Как находить производную неявной функции $\sqrt{x} + \sqrt{y} - 3x^2y^4 = \ln 2x$? С чего начать хоть?
# 23 Июн 2018 12:19:09
Sheldon

Здесь $y$ связан с $x$ не явно, а посредством равенства, то есть $y$ это неявно заданная функция аргумента $x$.

Если $y$ неявно заданная функция от $x$ посредством равенства $F(x,y)=0$, тогда
$$ y'_x = -\frac{F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)}. $$
В данном случае $F(x,y) = \sqrt{x} + \sqrt{y} - 3x^2y^4 - \ln 2x = 0$.

$$$ F'_x(x,y) = (\sqrt{x} + \sqrt{y} - 3x^2y^4 - \ln 2x)'_x = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 6xy^4 - \frac{2}{x}, \\ F'_y(x,y) = (\sqrt{x} + \sqrt{y} - 3x^2y^4 - \ln 2x)'_y = \frac{1}{2\sqrt{y}} - 12x^2y^3. $$$

В итоге получаем

$$y'(x) = -\frac{F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} - 6xy^4 - \frac{2}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{y}} - 12x^2y^3}$$.

Соотношение $F(x,y)=0$ задает неявную функцию в точке $(x_0,y_0)$ только при определенных условиях.

Например, окружность задается уравнением $$F(x,y) = x^2+y^2-1 = 0$$. Можно считать, что $y$ неявно зависит от $x$. Причем $y$ можно выразить и явно: $y=\sqrt{1-x^2}$ для верхней полуокружности и $y=-\sqrt{1-x^2}$ для нижней. Но ни в какой окрестности точки $x_0=1, y_0=0$ нельзя выразить $y$ однозначно.

Поэтому требуют, чтобы $F'_y(x_0,y_0)\ne 0$. Это условие обеспечивает однозначность функции $y$ в окрестности точки $(x_0,y_0)$. Подробнее о существовании неявной функции и ее производной см. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, параграф 2, теорема 2 (стр 447-452).

В данном случае условие, что производная по $y$ не обращается в 0, выглядит так:

$$ F'_y(x,y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} - 12x^2y^3 \ne 0, $$

то есть

$$ 24x^2y^{\frac72} \ne 1. $$
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.