x, y, z

Как найти производную, когда функция в степени функции?

# 23 Июн 2018 00:14:31
Sonya
Как найти производную от такой функции $y=(\sin 2x + \pi)^{\tg^2 x}$?
# 23 Июн 2018 02:25:54
Sheldon

Для произвольных функций $f,g$, где $f(x)>0$, верно равенство
$$f(x)^{g(x)} = e^{\ln f(x)^{g(x)}} = e^{g(x)\ln f(x)}$$.
Поэтому
$$\left( f(x)^{g(x)} \right)' = \left( e^{g(x)\ln f(x)} \right)' = e^{g(x)\ln f(x)}\cdot \left( {g(x)\ln f(x)} \right)' = f(x)^{g(x)} \cdot \left( g'(x)\ln f(x) + g(x)\frac{f'(x)}{f(x)} \right).$$
В данном случае $f(x) = \sin 2x + \pi$ и $g(x) = {\tg^2 x}$.

Получаем
$%\begin{multline*} \left( (\sin 2x + \pi)^{\tg^2 x} \right)' = \left( e^{{\tg^2 x}\ln(\sin 2x + \pi)} \right)' = (\sin 2x + \pi)^{\tg^2 x} \cdot \left( (\tg^2 x)'\cdot\ln (\sin 2x + \pi) + \tg^2 x \cdot\frac{(\sin 2x + \pi)'}{(\sin 2x + \pi)} \right) = \\ = (\sin 2x + \pi)^{\tg^2 x} \cdot \left( 2\tg^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \cdot\ln (\sin 2x + \pi) + \tg^2 x \cdot\frac{2\cos 2x }{(\sin 2x + \pi)} \right). \end{multline*}%$
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.