x, y, z

Гипотеза Била за 1 миллион долларов

# 3 Апр 2015 05:29:12
Evgeniy

Гипотеза Била — гипотеза в теории чисел, обобщение великой теоремы Ферма. Предложена в 1993 году техасским миллиардером и математиком-любителем Эндрю Билом (англ. Andrew Beal), который учредил премию за её доказательство или опровержение в 100 тыс. долларов, а в 2013 году увеличил эту премию до 1 млн долларов.

Гипотеза формулируется следующим образом:

Если $A^x + B^y = C^z$, где $A$, $B$, $C$, $x$, $y$, $z$ — натуральные, и $x, y, z > 2$, то $A$, $B$, $C$ имеют общий простой делитель.

Примеры $7^3 + 13^2 = 2^9$ и $1^m + 2^3 = 3^2$ показывают, что гипотеза неверна без выполнения условия $x, y, z > 2$.

Гипотеза не верна для гауссовых чисел, что показывает контрпример $(-2+i)^3 + (-2-i)^3 = (1+i)^4$, который в 2014 году нашел Fred W. Helenius.

При условии справедливости гипотезы великую теорему Ферма можно доказать от противного:

Пусть существуют натуральные числа $n > 2$ и $A$, $B$, $C$ такие, что $A^n+B^n=C^n$, причём $C$ — минимально возможное. Тогда гипотеза Била для $x = y = z = n$ влечёт, что существует простое число $p$, делящее каждое из чисел $A$, $B$ и $C$. Но тогда $(A/p)^n+(B/p)^n=(C/p)^n$, что противоречит минимальности выбора $C$. Полученное противоречие означает, что требуемых натуральных чисел $n$, $A$, $B$, $C$ не существует, то есть, великая теорема Ферма доказана.

По состоянию на 2013 год гипотеза проверена для случаев, когда значения всех шести чисел не превосходят 1000.

24 марта 2014 года запущен проект добровольных вычислений Beal@Home на платформе BOINC по поиску контрпримера путём полного перебора.
# 11 Янв 2018 04:56:10
Генниалин

ЧТО ПРОТИВОРЕЧИТ МИНИМАЛЬНОСТИ ВЫБОРА С. Нельзя ли поподробнее узнать что это такое на примере?

В тексте, Гипотеза Била.. есть предложение: ...ЧТО ПРОТИВОРЕЧИТ МИНИМАЛЬНОСТИ ВЫБОРА С. Нельзя ли поподробнее узнать что это такое на примере? С уважением Генниалин. почта: nilaineg1936@bk.ru
# 11 Янв 2018 17:26:23
Evgeniy

Генниалин писал(а):
В тексте, Гипотеза Била.. есть предложение: ...ЧТО ПРОТИВОРЕЧИТ МИНИМАЛЬНОСТИ ВЫБОРА С. Нельзя ли поподробнее узнать что это такое на примере? С уважением Генниалин. почта: nilaineg1936@bk.ru
Если существуют натуральные числа $n > 2$ и $A$, $B$, $C$ такие, что $A^n+B^n=C^n$ и у чисел $A$, $B$, $C$ есть наибольший общий делитель $d>1$, то можно перейти к тройке $A/d$, $B/d$, $C/d$, которая также удовлетворяет уравнению Ферма $(A/d)^n+(B/d)^n=(C/d)^n$. Иначе говоря, если существует удовлетворяющая уравнению Ферма тройка $A$, $B$, $C$, тогда существует тройка $A'$, $B'$, $C'$, где $C'$ взаимно просто с $\operatorname{\text{НОД}}(A',B')$. Именно это означает минимальность $C'$.
*Имя:
Заголовок:
[TeX-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.