x, y, z

Супремум и инфимум

# 25 Мая 2018 22:48:33
Evgeniy

Определение

Число $a$ называется верхней границей множества $X$, если любое число $x\in X$ не превосходит $a$. Иными словами, $a$ — верхняя граница множества $X$, если $\forall x\in X\ x\le a$.

Множество называется ограниченным сверху, если оно имеет хотя бы одну верхнюю границу.

Если множество ограничено сверху, то его минимальная верхняя граница $s$ называется точной верхней границей, или супремумом, и обозначается $s=\sup X$.

Минимальность верхней границы $s$ означает, что ее нельзя уменьшить. Если мы уменьшим супремум $s$ на любое небольшое $\varepsilon>0$, то число $s-\varepsilon$ уже не будет верхней границей для множества $X$, то есть найдется число $x_0\in X$, для которого $s-\varepsilon$ уже не является верхней границей, то есть будет верно неравенство $x_0 > s-\varepsilon$.

$\begin{tikzpicture}[scale=2] \draw[->] (0,0) -- (4,0); \fill [red] (3,0) circle (0.6pt); \draw (3,0) node[above] {$s$}; \fill [red] (2,0) circle (0.6pt); \draw (2,0) node[above] {$x_0$}; \fill [red] (1,0) circle (0.6pt); \draw (1,0) node[above] {$s-\varepsilon$}; \end{tikzpicture}$


Определение супремума в формальной записи:

$\sup X=s$, если
1) $s$ — верхняя граница $X$, то есть $\forall x\in X\ x\le s$;
2) $s$ — минимальная верхняя граница $X$, то есть $\forall \varepsilon>0\ \exists x_0\in X \colon x_0> s-\varepsilon$.

Аналогично определяется нижняя граница и точная нижняя граница как максимум всех нижних границ.

Число $b$ называется нижней границей множества $X$, если любое число $x\in X$ не меньше $b$. Иными словами, $b$ — нижняя граница $X$, если $\forall x\in X\ x\ge b$.

Множество называется ограниченным снизу, если оно имеет хотя бы одну нижнюю границу.

Если множество ограничено снизу, то его максимальная нижняя граница $i$ называется точной нижней границей, или инфимумом, и обозначается $i=\inf X$.

Определение инфимума в формальной записи:

$\inf X=i$, если
1) $i$ — нижняя граница $X$, то есть $\forall x\in X\ x\ge i$;
2) $i$ — максимальная нижняя граница $X$, то есть $\forall \varepsilon>0\ \exists x_0\in X \colon x_0< i+\varepsilon$.

Свойства

Лемма 1. $\inf(A+B) = \inf A + \inf B$, где $A,B \subset \mathbb{R}$ и $A+B = \{a+b\colon a \in A,\; b \in B\}$.

Доказательство.

Так как $\forall a \in A \ (\inf A \le a)$ и $\forall b \in B \ (\inf B \le b)$, то $\forall a + b \in A + B \ (\inf A + \inf B \le a + b)$, а значит, число $\inf A + \inf B$ является нижней границей для множества $A + B$.

Покажем, что эта граница точная. Возьмем произвольное $\varepsilon > 0$. По определению инфимума $\exists a' \in A \ \left(a' < \inf A + \varepsilon/2 \right)$ и $\exists b' \in B \ \left(b' < \inf B + \varepsilon/2 \right)$, а значит, $a' + b' < \inf A + \inf B + \varepsilon$. Следовательно, $\forall \varepsilon > 0 \ \exists a' + b' \in A + B \ ( a' + b' < \inf A + \inf B + \varepsilon)$, то есть число $\inf A + \inf B$ является точной нижней границей множества $A + B$.

Лемма 2. $$\sup A - \inf A = \sup_{x,y\in A}|x-y|$$.

Доказательство.

Так как $\{|x-y| \colon x,y\in A\} = \{x-y \colon x,y\in A,\; x>y\}$, то $$\sup_{x,y\in A}|x-y| = \sup_{x,y\in A, \atop x>y}(x-y)$$.

Так как $\forall x\in A\ (x \le \sup A)$ и $\forall y\in A\ (y \ge \inf A)$, то $\forall x,y\in A \ (x-y \le \sup A - \inf A)$, а следовательно $\sup A - \inf A$ есть верхняя граница множества $\{x-y \colon x,y\in A,\; x>y\}$.

Покажем, что эта граница точная. Возьмем произвольное $\varepsilon > 0$. По определению супремума и инфимума $\forall \varepsilon > 0\ \exists x'\in X \ \left(x' > \sup A - \varepsilon/2 \right)$ и $\exists y'\in X \ \left(y' < \inf A + \varepsilon/2 \right)$, а значит, $x'-y' > (\sup A - \inf A) - \varepsilon$. Следовательно, $\varepsilon > 0 \ \exists x',y'\in X \ \bigl(x'-y' > (\sup A - \inf A) - \varepsilon\bigr)$, то есть число $\sup A - \inf A$ является точной верхней границей множества $\{x-y \colon x,y\in A,\; x>y\}$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.