x, y, z

Когда x^5 = x?

# 3 Янв 2018 03:07:03
Evgeniy

Во многих книжках по занимательной математике, начиная с «Занимательной алгебры» Я. И. Перельмана и «Математических эссе и развлечений» У. Р. Болла, обсуждается задачка о числах, квадраты которых заканчиваются «на само число». Такие числа образуют цепочки: 52 = 25, 252 = 625, 6252 = 390625, 906252 = 8212890625 и т. д. Другая цепочка начинается с 6: 62 = 36, 762 = 5776, 3762 = 141376, 93762 = 87909376... Математики говорят, что квадратное уравнение x2 = x, кроме двух обычных корней 0 и 1, имеет еще два 10-адических корня U = ...890625 и 1 − U = ...109376, то есть каждая из приведенных выше цепочек соответствует одному 10-адическому числу — бесконечно продолжаемой влево последовательности цифр.

Замечание. Второе число не случайно обозначено 1 − U. Нетрудно убедиться, что сумма U + (1 − U) = ...890625 + ...109376 = ...000001 (последнее число — единица, перед которой записано бесконечно много нулей, — такое 10-адическое число вполне логично обозначить 1, что мы и сделали).

Наша задача посвящена другому 10-адическому уравнению — x5 = x. На обычном языке отыскание таких решений можно было бы сформулировать, например, так:

Назовем натуральное число удачным, если его пятая степень заканчивается на все цифры самого числа. Найдите все удачные натуральные числа.

Нетрудно понять, что удачными являются все однозначные числа, потому что пятая степень любого числа от 0 до 9 заканчивается на это число. Кроме того, нетрудно понять, что удачным будет число U: поскольку произведение его квадрата на него заканчивается на те же цифры, что и оно само, то отсюда выводится, что любая его степень заканчивается на них же.

Задача:

1) Найдите все двузначные удачные числа.

2) Докажите, что существует последовательность удачных чисел, заканчивающихся двойкой — V = ...186432, которую можно строить рекуррентно: v1 = 2, vn + 1 = vn5 (mod 10n+1).

3) Докажите, что все числа, образованные последними цифрами разности между U и (1 − U), то есть ...890625 − ...109376 = ...781249, являются удачными.

4) Докажите, что 10-адические числа U и V связаны соотношениями: UV = 0 (то есть произведение n-значных «хвостов» U и V заканчивается на n нулей) и U = 1 + V2. (из последнего равенства, в частности, следует возможность записать число 1 − U как −V2).

5) Докажите, что 10-адические удачные числа, заканчивающиеся на 7, равны V − U и V + U.





*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.