x, y, z

Помогите решить тригонометрические уравнения

# 7 Дек 2016 04:00:56
Pony
Помогите решить тригонометрические уравнения

a) $4\cos x \cos 2x \sin x = 1$.

b) $\sin 3x = \sin 5x$.
# 7 Дек 2016 04:17:32
Evgeniy

a) Для преобразования выражения два раз используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x \cos x$.

$4\cos x \cos 2x \sin x = 2\sin 2x \cos 2x = \sin 4x = 1$.

$\sin 4x = 1 \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{2} n$.

b) Для преобразования выражения два раз используем формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos \frac{x+y}{2}$.

$\sin 5x - \sin 3x = 2\sin\frac{5x-3x}{2}\cos \frac{5x+3x}{2} = 2\sin x\cos 4x = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Таким образом, получаем систему:

$\left[ \begin{aligned} \sin x=0 \\ \cos 4x=0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} x = \pi k \\ 4x= \frac{\pi}{2} + \pi n \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} x = \pi k \\ x= \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4} n \end{aligned} \right.$.
# 8 Дек 2016 15:03:41
Pony
Вот ещё.

1) Найдите область определения функции $y=\sqrt {\sin x - \frac{1}{2}}$.

2) Найдите координаты точки, полученной поворотом точки (0;1) на угол $-\frac{5\pi}{2}+2\pi k$.

3) Решите уравнение $(1-\sin x)(2-5\cos x)=0$.

4) Найдите координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1;1) на угол $-3\pi$.
# 8 Дек 2016 15:27:40
Evgeniy

1) Найдите область определения функции $y=\sqrt {\sin x - \frac{1}{2}}$.

$$\sin x - \frac{1}{2} \ge 0 \Rightarrow \sin x \ge \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{6}+2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{6}+2\pi n$$

2) Найдите координаты точки, полученной поворотом точки $(0,1)$ на угол $-\frac{5\pi}{2}+2\pi k$.

$$-\frac{5\pi}{2}+2\pi k = -\frac{\pi}{2}-\frac{4\pi}{2}+2\pi k = -\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

Поворот равносилен повороту на $-\frac{\pi}{2}$, следовательно $(1,0)$.

3) Решите уравнение $(1-\sin x)(2-5\cos x)=0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Таким образом, получаем систему:

$\left\{ \begin{aligned} &1-\sin x = 0 \\ &2-5\cos x = 0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} &\sin x = 1 \\ &\cos x = \frac{2}{5} \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{2}+2\pi k \\ &x = \pm \arccos \left( \frac{2}{5} \right) + 2\pi n \end{aligned} \right.$

4) Найдите координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки $(1,1)$ на угол $-3\pi$.

$-3\pi = -\pi -2\pi$, то есть поворот равен повороту на $-\pi$, следовательно точка перейдет в $(-1,-1)$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.