x, y, z

Теорема косинусов и два решения квадратного уравнения

# 4 Авг 2016 21:07:25
Evgeniy

$%\begin{tikzpicture}[scale=1.6] \path (0,0) coordinate (A) (5,0) coordinate (B) (4,2) coordinate (C); \draw (A) node [below left] {$A$} -- (B) node [midway, below] {$c$} node [below right] {$B$} -- (C) node [midway, above right] {$a$} node [above] {$C$} -- (A) node [midway, above left] {$b$} -- cycle; \coordinate (P) at ($(A)!(C)!(B)$); \draw[red,dashed] (C) -- (P) node[black,below] {$P$}; \coordinate (D) at ($(B)!2!(P)$); \draw[blue] (C) -- (D) node[black,below] {$D$}; \tkzMarkAngle[size=0.8](B,A,C) \tkzLabelAngle[pos=1](B,A,C){$\alpha$} \end{tikzpicture}%$

Пусть в треугольнике $ABC$ известен угол $\alpha$ при вершине $A$, прилежащая к этому углу сторона $b$ и противоположная к вершине $A$ сторона $a$. Нужно найти вторую прилежащую сторону $c$.

По теореме косинусов имеем равенство $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$, которое является квадратным уравнением относительно $c$. Запишем уравнение в более привычном виде $c^2 - (2b\cos\alpha)c + (b^2 - a^2) = 0$ и решим полученное уравнение. Дискриминант уравнения равен $4(a^2 - b^2\sin^2\alpha)$, поэтому при условии $|a| \le |b\sin\alpha|$ решения выражаются следующим образом $c_{1,2} = b\cos\alpha \pm \sqrt{a^2 - b^2\sin^2\alpha}$.

Почему при решении треугольника получилось два решения? Что же означает геометрически? Дело в том, что при $|a| \ne |b\sin\alpha|$ сторона $c$ определена неоднозначно. Условию задачи удовлетворяет не только треугольник $ABC$, но и треугольник $ADC$.

Кстати, также виден геометрический смысл слагаемых в решении. $|AP| = b\cos\alpha$, $|CP| = b\sin\alpha$, а $|DP|$ и $|PB|$ находятся из прямоугольных треугольников $DPC$ и $PBC$ при известной гипотенузе $a$, что и записали при извлечении корня из дискриминанта $|DP| = |PB| = \sqrt{a^2 - b^2\sin^2\alpha}$. Наконец, искомые $|AD| = |AP|-|DP|$, $|AB| = |AP|+|PB|$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.