x, y, z

Помогите решить задачи по геометрии

# 29 Мар 2015 01:08:44
Света
Задача 1. Даны точки: А(-1;0), B(0;3), C(6;1).
а) Найдите координаты и длину вектора АВ.
б) Разложите вектор АВ по координатным векторам i и j.
в) Напишите уравнение окружности с центром в точке А и радиусом АВ.
г) Принадлежит ли этой окружности точка D(5;-2)?
д) Напишите уравнение прямой АВ.

Задача 2. Докажите, что АВ – хорда окружности (х+2)2 +(y-1)2 = 25, если А(-2;6), B(-6;4).
# 29 Мар 2015 06:21:04
Evgeniy

Задача 1.

а)

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат точки конца $B$ вычесть соответствующие координаты точки начала $A$:

$\overrightarrow {AB} = B - A = \left( {{x_B} - {x_A};\;\;{y_B} - {y_A}} \right) = \left( {0 - ( - 1);\;3 - 0} \right)$.

Длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат

$\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {x_{AB}^2 + y_{AB}^2} = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10}$.

б)

В векторной записи коэффициент перед $i$ равен «иксовой координате», коэффициент перед $j$ равен «игрековой координате».

Таким образом, в нашем случае $\overrightarrow {AB} = {x_{AB}}i + {y_{AB}}j = i + 3j$.

в)

Уравнение окружности с центром в точке $M({x_0};{y_0})$ радиусом $r$ имеет вид

${(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} = {r^2}$.

В нашем случае центр $A( - 1;0)$, радиус $r = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {10}$, откуда уравнение окружности ${(x + 1)^2} + {y^2} = 10$, или после преобразования ${x^2} + {y^2} + 2x - 9 = 0$.

г)

По определению точка принадлежит кривой (в частности окружности) тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению этой кривой (окружности).

Подставляя координаты точки $D(5;-2)$ в уравнение ${(x + 1)^2} + {y^2} = 10$ приходим к неверному равенству ${(5 + 1)^2} + {( - 2)^2} \ne 10$, то есть координаты точки $D$ не удовлетворяют уравнению, следовательно, точка $D$ не принадлежит окружности.

д)

Способ 1. Через точку и угловой коэффициент.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом $k$, проходящей через точку $M({x_0};{y_0})$, имеет вид $y - {y_0} = k(x - {x_0})$.

В нашем случае точка есть $A(-1;0)$ , а угловой коэффициент равен $k = \dfrac{{{y_{AB}}}}{{{x_{AB}}}} = \dfrac{3}{1} = 3$, поэтому получаем уравнение $y - 0 = 3(x + 1)$, или после небольшого преобразования $y = 3x + 3$.

Способ 2. Через две точки.

Уравнение прямой, проходящей через точки ${M_1}({x_1};{y_1})$ и ${M_2}({x_2};{y_2})$, имеет вид

$\dfrac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}} = \dfrac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}$.

Одна точка нам известна, это точка $A( - 1;0)$. В качестве второй точки можно взять точку $B\left( {0;3} \right)$, ведь она также лежит на нашей прямой.

Подставляя координаты точек, получим уравнение

$\dfrac{{y - 0}}{{3 - 0}} = \dfrac{{x - (-1)}}{{0 - ( - 1)}}$,

или после преобразования $y = 3x + 3$.

Задача 2.

Для доказательства достаточно показать, что концы хорды $A$ и $B$ лежат на окружности. Для этого нужно проверить, удовлетворяют ли координаты точек уравнению окружности.

Точка А
${\left( {( - 2) + 2} \right)^2} + {(6 - 1)^2} = 0 + {5^2} = 25$ — принадлежит.

Точка В
${\left( {( - 6) + 2} \right)^2} + {(4 - 1)^2} = {4^2} + {3^2} = 25$ — принадлежит.

Таким образом, $AB$ является хордой окружности.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.