x, y, z

Хаотичное поведение динамической системы

# 28 Июн 2016 02:30:22
Bolek
Рассматривается функция $f$, которая порождает динамическую систему (можно задать формулой, но понятнее на рисунке).

https://i.imgur.com/HUMxYpi.jpg
Покажем, что репеллентом такой системы является канторово множество $C$.

Пусть функция $S(E)$ по множеству $E$ дает его полный прообраз. Например, $S([0;1])=[0;1/3]\cup [2/3;1]$.

Множество $C=\bigcap_{k=1}^{\infty}S^k([0;1])$ инвариантно относительно $f$. Действительно,

$f(C) = f\left( \bigcap_{k=1}^{\infty}S^k([0;1]) \right) \subseteq \bigcap_{k=1}^{\infty}f(S^k([0;1])) = \bigcap_{k=0}^{\infty}S^k([0;1]) \subseteq C$, где $S^{0}([0;1])=[0;1]$.

Покажем, что $C$ — репеллент. Если $x\notin C$, то $f^{k}(x)\to \infty$. Действительно, если $x\notin C$, то $x \notin S^m([0;1])$ при некотором $m$. Но тогда $f^m(x) \notin [0;1]$. А последующие итерации, очевидно, уводят в бесконечность. Таким образом, $C$ — репеллент.

По сути функция $f$ первую и третью треть канторова множества отображает на все кантрово множество. Правда третью треть еще и переворачивает.

Если записать точки множества $C$ в троичной системе с отождествлением последней единицы с бесконечной последовательностью двоек, то действие функции $f$ сводится к сдвигу троичной запись влево, причем все разряды инвертируются, если первая цифра после запятой была 2.

Теперь нужно исследовать поведение системы и доказать, что поведение системы хаотичное. Но я на семинаре не совсем понял определение хаотичного поведения.

Как я понял, нужно доказать, что, если $\nu$ иррациональное число из множества $C$, то его орбита $\{f^k(\nu)\}$ всюду плотна в $C$. Мне кажется, это неверно. Например, если $\nu$ не является нормальным числом.

Что такое хаотичное поведение? Какие же свойства этой системы верны? Может нужно оценить меру множества точек, орбиты которых всюду плотны?
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.