x, y, z

Доказать, что аффинные преобразования плоскости образуют группу

# 16 Июн 2016 23:30:24
Гостья
Как доказать, что аффинные преобразования плоскости образуют группу?
# 16 Июн 2016 23:57:41
Evgeniy

Пусть на плоскости выбран базис. Тогда всякое аффинное преобразование можно задать в матричном виде $f(X)=AX+b$, где $A$ — обратимая матрица, $b$ вектор.

Покажем, что аффинные преобразования образуют группу относительно операции композиция.

Пусть $f(X)=AX+b$ и $g(X)=CX+d$ — аффинные преобразования.

Композиция аффинных преобразований $g \circ f$ есть аффинное преобразование:

$(g \circ f)(X) = g(f(X))=g(AX+b) = C(AX+b)+d = (CA)X + (Cb +d)$.

Композиция аффинных преобразований ассоциативная, поскольку ассоциативно произведение матриц.

Тождественное преобразование $e(X)=EX+0=X$ служит единицей группы, поскольку для любого аффинного преобразования $f(X) = AX+b$ верно $e\circ f = f \circ e = f$.

Наконец покажем, что всякое аффинное преобразование $f(X) = AX+b$ обратимо.

Пусть $Y=AX+b$. Попробуем выразить $X$ через $Y$. Умножая равенство $Y=AX+b$ на $A^{-1}$ получим $A^{-1}Y=X+A^{-1}b$. Далее получаем $X=A^{-1}Y-A^{-1}b$. Заметим, что мы использовали обратимость матрицы $A$.

Итак, преобразование $f^{-1}(X) = A^{-1}X - A^{-1}b$ является обратным к $f(X) = AX+b$.

Это можно проверить непосредственно:
$(f^{-1}\circ f)(X) = f^{-1}(f(X)) = A^{-1}(AX+b) - A^{-1}b = X$,
$(f \circ f^{-1})(X) = f(f^{-1}(X)) = A(A^{-1}X - A^{-1}b)+b = X$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.