x, y, z

Найдите общее решение линейной системы в зависимости от значения параметра лямбда

# 12 Мар 2016 11:10:39
Math

Найдите общее решение линейной системы в зависимости от значения параметра $\lambda$. При каких значениях $\lambda$ система допускает решение с помощью обратной матрицы?

$\left\{\begin{matrix} 3x_1 + (\lambda+8)x_2 + (5\lambda+8)x_3 = \lambda + 13 \\ x_1 + (\lambda+4)x_2 + (2\lambda+3)x_3 = \lambda + 6 \\ 2x_1 + (\lambda+6)x_2 + (4\lambda+6)x_3 = \lambda + 10 \end{matrix}\right.$

Решение

Если обозначить

$A = \begin{pmatrix} 3 & \lambda+8 & 5\lambda+8 \\ 1 & \lambda+4 & 2\lambda+3 \\ 2 & \lambda+6 & 4\lambda+6 \end{pmatrix}$,

$X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$,

$B = \begin{pmatrix} \lambda + 13 \\ \lambda + 6 \\ \lambda + 10 \end{pmatrix}$,

тогда систему можно записать в виде $AX=B$.

Определитель $\det A = \begin{vmatrix} 3 & \lambda+8 & 5\lambda+8 \\ 1 & \lambda+4 & 2\lambda+3 \\ 2 & \lambda+6 & 4\lambda+6 \end{vmatrix} = \lambda^2 + 3\lambda + 2$.

Приравнивая к нулю, найдем, что $\det A = 0$ при $\lambda = -2$ и $\lambda = -1$.

Если $\lambda \ne -2$ и $\lambda \ne -1$, то матрица $A$ имеет обратную

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2\lambda+3}{\lambda+1} & \frac{\lambda^2}{\lambda^2+3\lambda+2} & -\frac{3\lambda^2+9\lambda+8}{\lambda^2+3\lambda+2} \\ 0 & \frac{2}{\lambda+2} & -\frac{1}{\lambda+2} \\ -\frac{1}{\lambda+1} & -\frac{1}{\lambda+1} & \frac{2}{\lambda+1} \end{pmatrix}$

и решение имеет вид $X = A^{-1}B$.

Если аккуратно перемножить и упростить, получим $X = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\lambda+1} \\ 1 \\ \frac{1}{\lambda+1} \end{pmatrix}$.

Случаи $\lambda = -2$ и $\lambda = -1$ рассматриваются отдельно. Нужно просто подставить $\lambda$ и решить как обычную систему линейных уравнений с числовыми коэффициентами без параметров, например, методом гаусса.

Можно не использовать обратную матрицу, а применить метод редукции гаусса к расширенной матрице, учитывая, что $\lambda \ne -2$ и $\lambda \ne -1$,

$\begin{pmatrix} 3 & \lambda+8 & 5\lambda+8 & \lambda+13\\ 1 & \lambda+4 & 2\lambda+3 & \lambda+6 \\ 2 & \lambda+6 & 4\lambda+6 & \lambda+10 \end{pmatrix}$

и получить

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{\lambda+1} \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{\lambda+1} \end{pmatrix}$.

При $\lambda = -2$ расширенная матрица

$\begin{pmatrix} 3 & 6 & -2 & 11 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & 4 & -2 & 8 \end{pmatrix}$

редуцируется до

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Следовательно решения имеют вид $x_3 = -1,\ x_1 = 3-2x_2$, или в матричном виде:

$X = \begin{pmatrix} 3-2x_2 \\ x_2 \\ -1 \end{pmatrix}$.

При $\lambda = -1$ расширенная матрица

$\begin{pmatrix} 3 & 7 & 3 & 12 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \\ 2 & 5 & 2 & 9 \end{pmatrix}$

редуцируется до

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Следовательно, система не имеет решений.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.