x, y, z

Помогите решить пример на предел

# 23 Мар 2015 02:16:47
Алексей
Помогите решить пример из задачника Демидовича на предел

$$\lim_{x\to 0} \frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}$$
# 23 Мар 2015 06:25:00
Evgeniy

Расписываем слагаемые в числителе по биному Ньютона

$%$(1+mx)^n = (mx)^n+C_n^1(mx)^{n-1}+ \dots +C_n^k(mx)^{n-k}+ \dots +C_n^{n-2}(mx)^2+C_n^{n-1}mx+1= \\ = (mx)^n+n(mx)^{n-1}+ \dots +C_n^k(mx)^{n-k}+ \dots +\frac{(n-1)n}{2}(mx)^2+nmx+1.$%$

$%$(1+nx)^m = (nx)^m+C_m^1(nx)^{m-1}+ \dots +C_m^k(nx)^{m-k}+ \dots +C_m^{m-2}(nx)^2+C_m^{m-1}nx+1= \\ = (nx)^m+m(nx)^{m-1}+ \dots +C_m^k(nx)^{m-k}+ \dots +\frac{(m-1)m}{2}(nx)^2+mnx+1.$%$

Далее записываем их разность и приводим подобные

$%${(1+mx)^n-(1+nx)^m} = \\ = {\left(\dots + \frac{(n-1)n}{2}(mx)^2+nmx+1 \right) - \left(\dots+\frac{(m-1)m}{2}(nx)^2+mnx+1\right)} = \\ = x^2\left( (\dots)x+ \frac{mn(n-m)}{2} \right),$%$

где через $(\dots)$ обозначен некоторый многочлен от $x$.

Далее сокращаем числитель и знаменатель на общий множитель $x^2$.

$%$\dfrac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2} = \dfrac{x^2\left( (\dots)x+ \frac{mn(n-m)}{2} \right)}{x^2} = \left( (\dots)x+ \frac{mn(n-m)}{2}\right) = \dfrac{mn(n-m)}{2}.$%$

И после этого упрощения находим предел

$$\lim_{x\to 0} \frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}=\lim_{x\to 0}\left( (\dots)x+ \frac{mn(n-m)}{2}\right) =\frac{mn(n-m)}{2}$$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.