x, y, z

Помогите исследовать функцию

# 14 Янв 2016 01:21:38
Xenya
Помогите исследовать функцию $$y(x)=\frac{(x-2)^2}{x^2+4}$$.
# 14 Янв 2016 01:55:39
Math

Область определения функции $$f(x)=\frac{(x-2)^2}{x^2+4}$$ есть все $\mathbb{R}$.

$y(x)=0$ при $x=2$.

$y(x) \to +\infty$ при $x \to \pm\infty$.

Найдем производную.

$$y'(x)=\left (\frac{(x-2)^2}{x^2+4} \right )' = \frac{((x-2)^2)'(x^2+4)-(x-2)^2(x^2+4)}{(x^2+4)} = \frac{2(x-2)(x^2+4)-(x-2)^22x}{(x^2+4)} = \frac{4(x^2-4)}{x^2+4}$$.

$y'(x)>0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, поэтому тут функция $y$ строго возрастает.

$y'(x)<0$ при $x \in (-2, 2)$, поэтому тут функция $y$ строго убывает.

$y'(x)=0$ при $x = \pm 2$, причем при переходе через $x=-2$ производная $y'(x)$ и меняет значения с положительных на отрицательные, а при переходе через $x=2$ - с отрицательных на положительные, поэтому $x=-2$ — точка локального максимума функции $y$, а $x=2$ — точка локального минимума.

График выглядит так:

https://i.imgur.com/MVL2vce.jpg
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.