x, y, z

Какую из моделей взаимодействия двух видов описывает система однородных дифференциальных уравнений?

# 8 Янв 2016 02:54:26
Марья
Какую из моделей взаимодействия двух видов описывает система однородных дифференциальных уравнений: модель межвидовой конкуренции, модель «хищник-жертва», модель симбиоза.

Найдите численность обоих видов при заданных начальных размерах популяций $x(0)=1000$ и $y(0)=2000$ особей и заданных параметрах $a,b,c,d$, а также предельные численности популяций. В модели «хищник-жертва» определите время вымирания «жертвы».

Вид системы:

$\left\{\begin{matrix} x'(t) = ax(t)+by(t)\\ y'(t) = cx(t)+dy(t) \end{matrix}\right.$

a) $a=7;\ b=-1;\ c=1;\ d=7$;
б) $a=2;\ b=1;\ c=-1;\ d=4$;
в) $a=-1;\ b=3;\ c=1;\ d=-3$.
# 9 Янв 2016 12:37:18
Math

a)

$\left\{\begin{array}{l} {x'=7x-y} \\ {y'=-x+7y} \end{array}\right.$

Это модель межвидовой конкуренции, так как скорость роста популяции каждого вида возрастает при росте размера своей популяции и убывает при росте размера другой популяции.

Решим систему.

Составляем характеристическое уравнение:

$\chi (\lambda )=\left|\begin{array}{cc} {7-\lambda } & {-1} \\ {-1} & {7-\lambda } \end{array}\right|=(7-\lambda )(7-\lambda )-1=\lambda ^{2} -14\lambda +48=0.$

Корни характеристического уравнения: $\lambda _{1} =6,\ \lambda _{2} =8$.

Найдем решение соответствующее характеристическому числу $\lambda _{1} =6$.

$\left\{\begin{array}{l} {(7-\lambda _{1} )\gamma _{1} -\gamma {}_{2} =0} \\ {-\gamma _{1} +(7-\lambda _{1} )\gamma _{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {\gamma _{1} -\gamma {}_{2} =0} \\ {-\gamma _{1} +\gamma _{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \gamma _{1} =1,\ \gamma _{2} =1.$

Решение системы, соответствующее характеристическому значению $\lambda _{1} =6$:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=\gamma _{1} e^{6t} =e^{6t} } \\ {y(t)=\gamma _{2} e^{6t} =e^{6t} } \end{array}\right.$

Найдем решение соответствующее характеристическому числу $\lambda _{2} =8$.

$\left\{\begin{array}{l} {(7-\lambda _{2} )\gamma _{1} -\gamma _{2} =0} \\ {-\gamma _{1} +(7-\lambda _{2} )\gamma _{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {-\gamma _{1} -\gamma {}_{2} =0} \\ {-\gamma _{1} -\gamma _{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \gamma _{1} =1,\ \gamma _{2} =-1.$

Решение системы, соответствующее характеристическому значению $\lambda _{2} =8$:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=\gamma _{1} e^{8t} =e^{8t} } \\ {y(t)=\gamma _{2} e^{8t} =-e^{8t} } \end{array}\right.$

Запишем общее решение системы:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=C_{1} e^{6t} +C_{2} e^{8t} } \\ {y(t)=C_{1} e^{6t} -C_{2} e^{8t} } \end{array}\right.$

Найдем частное решение из условия $x(0)=1000,\ y(0)=2000$.

$\left\{\begin{array}{l} {x(0)=C_{1} +C_{2} =1000} \\ {y(0)=C_{1} -C_{2} =2000} \end{array}\right. \Rightarrow C_{1} =1500,\ C_{2} =-500.$

Частное решение системы:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=1500e^{6t} -500e^{8t} } \\ {y(t)=1500e^{6t} +500e^{8t} } \end{array}\right.$

$x(t)=1500e^{6t} - 500e^{8t} = 500e^{6t}\left( 3 - e^{2t} \right) \to -\infty$ при $t \to +\infty$.

Но по условию задачи $x(t)$ не может быть отрицательным, поэтому крайним значениям будет $x(t)=0$, которое достигается при $t_0=\frac{1}{2}\ln 3$.

$y(t)=1500e^{6t} +500e^{8t} \to +\infty$ при $t \to +\infty$.

Крайним для $y(t)$ будет значение $y(t_0) = 81000$.

Иными словами, первый вид вымрет, а численность второго к этому моменту достигнет $81000$ особей.
# 9 Янв 2016 12:48:29
Math

б)

$\left\{\begin{array}{l} {x'=2x+y} \\ {y'=-x+4y} \end{array}\right.$

Это модель «хищник-жертва», так как скорость роста популяции первого вида (хищник) возрастает при росте размера своей популяции и возрастает при росте размера популяции второго вида (жертва), а скорость роста популяции второго вида возрастает при росте размера своей популяции и убывает при росте размера популяции первого вида.

Решим систему.

Составляем характеристическое уравнение:

$\chi (\lambda )=\left|\begin{array}{cc} {2-\lambda } & {1} \\ {-1} & {4-\lambda } \end{array}\right|=(2-\lambda )(4-\lambda )+1=\lambda ^{2} -6\lambda +9=0.$

Корни характеристического уравнения: $\lambda _{1} = \lambda _{2} = 3$.

Решения, соответствующие кратному характеристическому значению $\lambda _{1} = \lambda _{2} = 3$, представляются в виде:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=(\alpha _{1} + \beta _{1} t)e^{3t} } \\ {y(t)=(\alpha _{2} + \beta _{2} t)e^{3t} } \end{array}\right.$

Подставим эти выражения в первое уравнение исходной системы:

$$\beta _{1} e^{3t} + (\alpha _{1} +\beta _{1} t)3e^{3t} = 2(\alpha _{1} + \beta _{1} t)e^{3t} + (\alpha _{2} + \beta _{2} t)e^{3t} \Rightarrow \\ \Rightarrow \beta _{1} + (\alpha _{1} +\beta _{1} t)3 = 2(\alpha _{1} + \beta _{1} t)+(\alpha _{2} + \beta _{2} t).$$

Приравнивая коэффициенты при разных степенях $t$, получим систему:

$\left\{\begin{array}{l} { \beta _{2} = \beta _{1} } \\ { \alpha _{2} = \alpha _{1} + \beta _{1} } \end{array}\right.$

Решение этой системы можно записать параметрическом в виде: $\alpha _{1} =C_{1},\ \beta _{1} =C_{2}$.

Следовательно, общее решение имеет вид:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=(C_{1} + C_{2} t)e^{3t} } \\ {y(t)=(C_{1} +C_{2} + C_{1} t)e^{3t} } \end{array}\right.$

Найдем частное решение из условия $x(0)=1000,\ y(0)=2000.$

$\left\{\begin{array}{l} {x(0)=C_{1} =1000} \\ {y(0)=C_{1} +C_{2} =2000} \end{array}\right. \Rightarrow C_{1} =1000,\ C_{2} =1000.$

Частное решение:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=1000(1+t)e^{3t} } \\ {y(t)=1000(2+t)e^{3t} } \end{array}\right.$

$x(t) \to +\infty$ при $t \to +\infty$.

$y(t) \to +\infty$ при $t \to +\infty$.

Численность обоих видов со временем растет неограниченно.
# 9 Янв 2016 13:02:48
Math

в)

$\left\{\begin{array}{l} {x'=-x+3y} \\ {y'=x-3y} \end{array}\right.$

Это модель симбиоза, так как скорость роста популяции видов убывает при росте размера своей популяции и возрастает при росте размера популяции другого вида.

Решим систему.

Составляем характеристическое уравнение:

$\chi (\lambda )=\left|\begin{array}{cc} {-1-\lambda } & {3} \\ {1} & {-3-\lambda } \end{array}\right|=(-1-\lambda )(-3-\lambda )-3 = \lambda ^{2} + 4\lambda =0.$

Корни характеристического уравнения: $\lambda _{1} =0,\ \lambda _{2} =-4$.

Найдем решение, соответствующее характеристическому числу $\lambda _{1} =0$.

$\left\{\begin{array}{l} {(-1-\lambda _{1} )\gamma _{1} +3\gamma _{2} =0} \\ {\gamma _{1} +(-3-\lambda _{1} )\gamma _{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {-\gamma _{1} +3\gamma _{2} =0} \\ {\gamma _{1} -3\gamma _{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \gamma _{1} =3,\ \gamma _{2} =-1.$

Решение системы, соответствующее характеристическому значению $\lambda _{1} =0$:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=\gamma _{1} e^{0} =3} \\ {y(t)=\gamma _{2} e^{0} =-1} \end{array}\right.$

Найдем решение, соответствующее характеристическому числу $\lambda _{2} = -4$.

$\left\{\begin{array}{l} {(-1-\lambda _{2} )\gamma _{1} +3\gamma _{2} =0} \\ {\gamma _{1} +(-3-\lambda _{2} )\gamma _{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {3\gamma _{1} +3\gamma _{2} =0} \\ {\gamma _{1} +\gamma _{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow \gamma _{1} =1,\ \gamma _{2} =-1.$

Решение системы, соответствующее характеристическому значению $\lambda _{1} = -4$:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=\gamma _{1} e^{-4t} =e^{-4t} } \\ {y(t)=\gamma _{2} e^{-4t} =-e^{-4t} } \end{array}\right.$

Общее решение системы:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=3C_{1}+ C_{2} e^{-4t}} \\ {y(t)=-C_{1} - C_{2} e^{-4t}} \end{array}\right.$

Найдем частное решение из условия $x(0)=1000,\ y(0)=2000$.

$\left\{\begin{array}{l} {x(0)=3C_{1}+C_{2} =1000} \\ {y(0)=-C_{1} -C_{2} =2000} \end{array}\right. \Rightarrow C_{1} =1500,\ C_{2} =-3500.$

Частное решение:

$\left\{\begin{array}{l} {x(t)=4500-3500e^{-4t} } \\ {y(t)=-1500+3500e^{-4t} } \end{array}\right.$

$y(t) \to -1500$ при $t \to +\infty$.

Но по условию задачи $y(t)$ не может быть отрицательным, поэтому крайним значениям будет $y(t)=0$, которое достигается при $t_0=-4\ln \frac{3}{7}$.

$x(t) \to 4500$ при $t \to +\infty$.

Крайним для $x(t)$ будет значение $x(t_0) = 3000$.

Второй вид вымрет, численность первого к этому моменту будет составлять $3000$ особей.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

* Сколько символов на картинке?
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.