x, y, z

Предел с корнями

# 7 Янв 2016 17:37:15
Владимир
Помогите найти предел. Заранее спасибо.

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\left (2+\sqrt{x} \right )^2+\sqrt{x^3}}{\left ( 1-\sqrt{x} \right )^3+2}$$
# 7 Янв 2016 18:32:11
Math

Преобразуем предельное выражение.

$$\frac{\left (2+\sqrt{x} \right )^2+\sqrt{x^3}}{\left ( 1-\sqrt{x} \right )^3+2} = \frac{4+4\sqrt{x}+\left (\sqrt{x}\right )^2+\sqrt{x^3}}{1-3\sqrt{x}+3\left (\sqrt{x}\right )^2-\left (\sqrt{x}\right )^3+2} = \\ = \frac{4+4\sqrt{x}+x+\sqrt{x^3}}{1-3\sqrt{x}+3x-\sqrt{x^3}+2} = \frac{x^{3/2}+x+4x^{1/2}+4}{-x^{3/2}+3x-3x^{1/2}+3}.$$

Здесь уже можно было остановиться и при вычислении предела сослаться на правило, что предел отношения двух многочленов при $x \to +\infty$ равен отношению коэффициентов с наибольшим показателем степени, в данном случае коэффициентов при $x^{3/2}$, отношение которых равно $\frac{1}{-1}=-1$.

Для наглядности можно пойти дальше и сократить оба многочлена на $x^{3/2}$.

$$\frac{x^{3/2}+x+4x^{1/2}+4}{-x^{3/2}+3x-3x^{1/2}+3} = \frac{1+\frac{1}{x^{1/2}}+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^{3/2}}}{-1+\frac{3}{x^{1/2}}-\frac{3}{x}+\frac{3}{x^{3/2}}}$$.

Заметим, что если $\alpha > 0$, то $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} = 0$.

Поэтому $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\left (2+\sqrt{x} \right )^2+\sqrt{x^3}}{\left ( 1-\sqrt{x} \right )^3+2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+\frac{1}{x^{1/2}}+\frac{4}{x}+\frac{4}{x^{3/2}}}{-1+\frac{3}{x^{1/2}}-\frac{3}{x}+\frac{3}{x^{3/2}}} = \frac{1+0}{-1+0} = \frac{1}{-1} = -1$$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.