x, y, z

Предел с разностью корней

# 7 Янв 2016 00:09:25
Xenya
Помогите найти предел $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+1}\left( \sqrt{x} - \sqrt{x-1} \right)$.
# 7 Янв 2016 00:21:43
Math

Преобразуем предельное выражение.

$%$\sqrt{x+1}\left( \sqrt{x} - \sqrt{x-1} \right) = \sqrt{x+1}\cdot \frac{\left( \sqrt{x} - \sqrt{x-1} \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{x-1} \right)}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}} = \sqrt{x+1}\cdot \frac{x-(x-1)}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}}= \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{1 + \sqrt{1-\frac{1}{x}}} .$%$

Заметим, что $\lim_{x \to +\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x}} = 1$ и $\lim_{x \to +\infty}\sqrt{1-\frac{1}{x}} = 1$.

Следовательно, $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+1}\left( \sqrt{x} - \sqrt{x-1} \right) = \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{1 + \sqrt{1-\frac{1}{x}}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.