x, y, z

Подпространство полумагических матриц

# 6 Янв 2016 01:43:32
Xenya
Доказать, что множество $P_{m\times n}$ матриц размера $m\times n$, у которых суммы элементов в каждой строке и в каждом столбце равны между собой, образует подпространство в пространстве всех матриц данного размера $M_{m\times n}$. Найти размерность и построить базис $P_{m\times n}$. Проверить, что матрица
$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 3\\ -1 & 1 & 2\\ 1 & 4 & -3 \end{pmatrix}$
принадлежит $P_{3 \times 3}$ и разложить ее по базису $P_{3 \times 3}$.
# 6 Янв 2016 17:41:37
Math

Множество полумагических матриц $P_{m\times n}$ образует подпространство в $M_{m\times n}$. Чтобы это доказать, достаточно по критерию подпространства показать, что линейная комбинация любых двух матриц из $P_{m\times n}$ принадлежит $P_{m\times n}$.

Проведем рассуждение для случая размера матриц $3 \times 3$.

Пусть $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ и $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}$ - две полумагические матрицы.

Линейная комбинация $\alpha A+\beta B = \begin{pmatrix} \alpha a_{11}+\beta b_{11} & \alpha a_{12}+\beta b_{12} & \alpha a_{13}+\beta b_{13} \\ \alpha a_{21}+\beta b_{21} & \alpha a_{22}+\beta b_{22} & \alpha a_{23}+\beta b_{23} \\ \alpha a_{31}+\beta b_{31} & \alpha a_{32}+\beta b_{32} & \alpha a_{33}+\beta b_{33} \end{pmatrix}$.

Если сумма по строкам и столбцам в матрице $A$ равнялась $s_1$, а в матрице $B$ равнялась $s_2$, то в матрице $\alpha A+\beta B$ сумма по строкам и столбцам будет равна $\alpha s_1+\beta s_2$, то есть матрица $\alpha A+\beta B$ также является полумагической.

Будем рассматривать размерность подпространства как число независимых параметров, с помощью которых можно задавать его элементы.

Проведем рассуждения для размера матриц $3 \times 3$.

Пусть нам нужно построить полумагическую матрицу $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$, то есть матрицу, у которых суммы элементов в каждой строке и в каждом столбце равны между собой.

Элементы первой строки $a_{11}$, $a_{12}$ и $a_{13}$ можно выбрать произвольно.

Пусть $a_{11} + a_{12} + a_{13} = s$.

Элементы второй строки $a_{21}$ и $a_{22}$ можно выбрать произвольно, но элемент $a_{23}$ уже должен подчиняться условию $a_{21} + a_{22} + a_{23} = s$.

Элементы третьей строки уже нельзя выбрать произвольно, они находятся из условий, что сумма по каждому столбцу равна $s$.

Таким образом, множество полумагических матриц может быть параметризовано следующим образом:

$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & a+b+c-d-e \\ b+c - d & a+c - e & d+e-c \end{pmatrix}$, где $a,b,c,d,e$ - параметры.

Получили, что независимых параметров $5$.

Гипотеза: в случае размера матриц $m \times n$ размерность подпространства полумагических матриц равна $m + (m-1)(n-2) = mn - m - n + 2$.

Вернемся к случаю размера матриц $3 \times 3$.

Составим базис подпространства $P_{3\times 3}$, поочередно придавая каждому из параметров $a,b,c,d,e$ значение $1$, а остальным $0$.

Получим пять базисных матриц:

$E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$,

$E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$,

$E_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$,

$E_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -1\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$,

$E_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$.

Матрицы $E_1, \dots, E_5$ линейно независимые, так как линейная комбинация $aE_1+bE_2+cE_3+dE_4+eE_5 = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & a+b+c-d-e \\ b+c - d & a+c - e & d+e-c \end{pmatrix}$ равна нулевой матрице тогда и только тогда, когда $a=b=c=d=e=0$.

Чтобы разложить произвольную полумагическую матрицу по базису, нужно ее приравнять матрицу к параметрическому представлению полумагической матрицы.

$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 3\\ -1 & 1 & 2\\ 1 & 4 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & a+b+c-d-e \\ b+c - d & a+c - e & d+e-c \end{pmatrix}$.

Из этого равенства сразу видно, что $A = 2E_1+(-3)E_2+3E_3+(-1)E_4+E_5$, то есть координаты матрицы $A$ в базисе $E_1, \dots, E_5$ равны $a=2,\ b=-3,\ c=3,\ d=-1,\ e=1$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.