x, y, z

Какова вероятность того, что при извлечении номер шара ни разу не совпадет со своим порядковым номером

# 23 Мар 2015 01:21:55
Marisha
Надо решить такую задачку. В коробке лежат n одинаковых пронумерованных шаров. Шары вынимаются один за другим, пока коробка не опустеет. Какова вероятность того, что номер шара ни разу не совпадет со своим порядковым номером, т.е. с тем, каким он был взят по счету. Надо вывести формулу для n шаров. Помогите пожалуйста.
# 28 Мар 2015 03:38:57
Evgeniy

Пусть

$B$ – хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;
$C$ – нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.

Определим события

$A_1$ – при первом извлечении вынут шар № 1;
$A_2$ – при втором извлечении вынут шар № 2;
...
$A_n$ – в последнем извлечении вынут шар № n.

Тогда

$B=A_1+A_2+\dots+A_n$ и $C=\lnot B$ – событие, противоположное $B$.

Вероятность суммы событий выражается следующим образом:

$%$\dstyle P(A_1+A_2+\dots +A_n) = \\ = \sum_{1\le i \le n} P(A_i) - \sum_{1\le i<j\le n} P(A_iA_j) + \dots +(-1)^{k-1}\sum_{1\le i_1<\dots <i_k\le n} P(A_{i_1}\dots A_{i_k}) - \dots + (-1)^{n-1} P(A_1A_2\dots A_n)$%$

Выразим вероятности входящих в правую часть этой формулы событий как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов.

Результат каждой серии извлечений $n$ шаров можно сопоставить с перестановкой из чисел $\{1, 2, …, n\}$ так: на 1-м месте будет стоять номер шара, извлеченного первым, на 2-ом – вторым и т.д. Очевидно, что общее число исходов равно числу перестановок, т.е. $n!$

Событие $A_i$ состоит в том, что в перестановке на $i$-ом месте находится число $i$. На остальных $n-1$ местах могут быть произвольные числа. Поэтому всего благоприятных вариантов $(n-1)!$.

Итак, $$P(A_i)=\frac{(n-1)!}{n!}$$.

Сумма $$\sum_{1\le i \le n}P(A_i)$$ состоит из $n$ одинаковых слагаемых, поэтому $$\sum_{1\le i \le n} P(A_i) = n\frac{(n-1)!}{n!} = 1$$.

Событие $A_iA_j$ состоит в том, что в перестановке на $i$-ом месте находится число $i$, а на $j$-ом находится число $j$. На остальных $n-2$ местах могут быть произвольные числа. Поэтому всего благоприятных вариантов $(n-2)!$.

Итак, $$P(A_iA_j)=\frac{(n-2)!}{n!}$$.

Сумма $$\sum_{1\le i<j\le n}P(A_iA_j)$$ состоит из $$C_n^2=\frac{n!}{2(n-2)!}$$ одинаковых слагаемых, поэтому $$\sum_{1\le i<j\le n} P(A_iA_j) =\frac{n!}{2(n-2)!}\frac{(n-2)!}{n!}= \frac{1}{2}$$.

Событие $A_{i_1}\dots A_{i_k}$ состоит в том, что в перестановке на $i_1$-ом месте находится число $i_1$, а на $i_2$-ом находится число $i_2$ и т.д. На остальных $n-k$ местах могут быть произвольные числа. Поэтому всего благоприятных вариантов $(n-k)!$.

Итак, $$P(A_{i_1}\dots A_{i_k})=\frac{(n-k)!}{n!}$$.

Сумма $$\sum_{1\le i_1<\dots <i_k\le n} P(A_{i_1}\dots A_{i_k})$$ состоит из $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$ одинаковых слагаемых, поэтому $$\sum_{1\le i_1<\dots <i_k\le n} P(A_{i_1}\dots A_{i_k}) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{(n-k)!}{n!}=\frac{1}{k!}$$.

После подстановки в формулу суммы события, получим

$$P(B)=P(A_1+A_2+\dots +A_n)=1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \dots +(-1)^{n-1}\frac{1}{n!}=\ln 2$$. (см. Ряд Тейлора).

И окончательно

$$P(C)=1-P(B)=\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots +(-1)^{n}\frac{1}{n!}=1-\ln 2$$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.