x, y, z

Помогите доказать предел

# 20 Дек 2015 18:28:47
Юля
Как доказать, что $$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n}=1$$?
# 20 Дек 2015 18:50:00
Evgeniy

Заметим, что при $a,b>0$ верно $a<b \Leftrightarrow \sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}$.

Так как $1 \le n$, то и $1 \le \sqrt[n]{n}$.

Известно, что при $q>1$ предел $\lim_{n\to \infty} \frac{n}{q^n}=0$.

Зафиксируем произвольное $\varepsilon>0$.

Так как $1+\varepsilon>1$, то мы можем взять эту сумму в качестве $q>1$.

По определению предела, найдется $n_0$ такое, что $\forall n>n_0$ верно $$\frac{n}{(1+\varepsilon)^n}<1$$, то есть $n<(1+\varepsilon)^n$.

Из этого следует, что $\forall n>n_0$ верно $1 \le \sqrt[n]{n}<1+\varepsilon$.
# 20 Дек 2015 18:54:35
Юля
Eugene писал(а):
Известно, что при $q>1$ предел $\lim_{n\to \infty} \frac{n}{q^n}=0$.
А это как доказать?
# 20 Дек 2015 19:14:03
Evgeniy

При $q>1$ предел $\lim_{n\to \infty} \frac{n}{q^n}=0$.

Доказательство

Покажем, что последовательность $x_n=\frac{n}{q^n}$ ограничена снизу и убывает начиная с некоторого номера (т.е. финально убывает).

Ограниченность снизу очевидна, поскольку $0<\frac{n}{q^n}$.

Покажем, что начиная с некоторого номера последовательность убывает, то есть $x_{n+1}<x_n$. Для этого достаточно показать, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство $\frac{x_{n+1}}{x_n}<1$.

$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{n+1}{q^{n+1}}:\frac{n}{q^n}=\frac{n+1}{qn}=\frac{1}{q}\cdot\frac{n+1}{n}$.

Очевидно, что $\lim_{n\to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1}{q} < 1$.

Из этого следует, что найдется номер $n_0$ такой, что $\forall n>n_0$ будет верно $\frac{x_{n+1}}{x_n}<1$.

Так как последовательность $\{x_n\}$ финально убывает и ограничена снизу, то она имеет предел какой-то $\lim_{n\to \infty} x_n = a$.

Переходя к пределу в равенстве $x_{n+1} = \frac{1}{q}\cdot\frac{n+1}{n}\cdot x_n$, получим $a = \frac{1}{q}\cdot a$, откуда с учетом $\frac{1}{q}\ne 0$ следует $a = 0$.
# 20 Дек 2015 19:32:58
Юля
Eugene писал(а):
Так как последовательность $\{x_n\}$ финально убывает и ограничена снизу, то она имеет предел какой-то $\lim_{n\to \infty} x_n = a$.
А это, простите, откуда следует?
# 20 Дек 2015 23:30:22
Evgeniy

Юля писал(а):
А это, простите, откуда следует?
Написал в отдельной теме http://forany.xyz/t-126
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.