x, y, z

Может ли последовательность быть одновременно арифметической и геометрической прогрессией?

# 13 Ноя 2015 22:24:43
Evgeniy

Может ли последовательность быть одновременно арифметической и геометрической прогрессией? Если ответ положительный, приведите пример; если нет, объясните почему.

Сформулируем вспомогательные утверждения.

Утв 1. Последовательность $\{x_n\}$ является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов:

$x_n = \frac{x_{n-1}+x_{n+1}}{2},\ \ n \ge 2$.

Утв 2. Числовая последовательность $\{x_n\}$ ненулевых членов является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждого её члена, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних членов:

$|x_n| = \sqrt{ x_{n-1} \cdot x_{n+1} },\ \ n \ge 2$,

или

${x_n}^2 = x_{n-1} \cdot x_{n+1},\ \ n \ge 2$.

Само решение.

Допустим, что последовательность $\{x_n\}$ одновременно является арифметической и геометрической.

Тогда при $n \ge 2$ будем иметь

$\left| \frac{x_{n-1}+x_{n+1}}{2} \right| = |x_n| = \sqrt{ x_{n-1} \cdot x_{n+1} }$,

откуда

$|x_{n-1}+x_{n+1}| = 2|x_n| = 2\sqrt{ x_{n-1} \cdot x_{n+1} }$,

то есть

${x_{n-1}}^2 + 2(x_{n-1} \cdot x_{n+1}) + {x_{n+1}}^2 = |x_{n-1}+x_{n+1}|^2 = 4(x_{n-1} \cdot x_{n+1})$,

и, как следствие,

${x_{n-1}}^2 - 2(x_{n-1} \cdot x_{n+1}) + {x_{n+1}}^2 = (x_{n-1}-x_{n+1})^2 = 0$.

Из этого следует, что $x_{n-1} = x_{n+1}$ при всех $n \ge 2$.

Но тогда $x_n = \frac{x_{n-1}+x_{n+1}}{2} = \frac{2x_{n-1}}{2} = x_{n-1}$ при всех $n \ge 2$.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.