x, y, z

Через какое время встретятся стрелки?

# 26 Сен 2015 00:26:25
Math

На часах минутная и часовая стрелки встретились. Через какое время произойдет следующая встреча?
# 27 Сен 2015 01:56:29
WeirdStranger
Примем за $1$ весь циферблат.
Правило совместного движения минутной и часовой стрелок таково: если минутная стрелка прошла $\frac{1}{n}$ часть циферблата, то часовая за это время пройдет $\frac{1}{12n}$, т.е. в 12 раз меньше. В этом легко убедится, подставив $n=1$: тогда получается, что за один полный оборот, совершенный минутной стрелкой, часовая сдвинется на $\frac{1}{12}$, т.е. на 1 час, что абсолютно верно.
Для начала вычислим ту часть циферблата, которую проходит минутная стрелка от начала часа до ближайшего момента встречи. В начале каждого часа минутная стрелка находится в положении $0$ (т.е. прошла нулевую часть циферблата), а часовая - в положении $\frac{n}{12}, n=\overline{1,12}$. Начинаем "приближать" стрелки друг к другу: чтобы дойти до текущего положения часовой стрелки, минутной стрелке придется пройти $\frac{n}{12}$ циферблата, однако за это время часовая стрелка пройдет $\frac{n}{12^2}$ циферблата от своего первоначального положения. Опять доведем минутную стрелку до текущего положения часовой: она пройдет уже $\frac{n}{12^2}$ циферблата, но за это время часовая пройдет $\frac{n}{12^3}$ циферблата и т.д. Очевидно, что с каждой итерацией расстояние между стрелками будет сокращаться и в пределе станет равным $0$. Таким образом, весь путь, пройденный минутной стрелкой есть не что иное, как геометрический ряд (прогрессия): $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{n}{12^k}=\frac{\frac{n}{12}}{1-\frac{1}{12}}=\frac{n}{11}, n=\overline{1,12}$. Именно этой формулой описывается расположение стрелок на циферблате в момент их встречи.
Осталось узнать, сколько же проходит времени от одного момента встречи до другого. Пусть момент встречи происходит при каком-то $k, k=\overline{1,11}$. Тогда следующая встреча будет при $k+1$. ($k=12$ не рассматриваем, ибо в начале часа стрелки уже встретились, соответственно, следующая встреча произойдет по формуле через $\left(\frac{12}{11}\right)\cdot 60=65,(45)$ минут.) От момента встречи до начала часа минутной стрелке придется пройти $1-\frac{k}{11}$ циферблата и еще до следующей встречи $\frac{k+1}{11}$ циферблата. Итого получаем $1-\frac{k}{11}+\frac{k+1}{11}=\frac{11-k+k+1}{11}=\frac{12}{11}$ циферблата, или, если в минутах: $\left(\frac{12}{11}\right)\cdot 60=65,(45)$ минут $=$
$=65$ минут $27,(27)$ секунд.
# 27 Сен 2015 16:20:02
Evgeniy

У Вас как-то сложно получилось.

Часовая стрелка делает один оборот за $12$ часов, т.е. ее скорость $u=\frac{1}{12}\, \text{об/ч}$. Минутная стрелка делает один оборотов за час, т.е. ее скорость $v=1\, \text{об/ч}$. Минутная движется относительно часовой со скоростью $\omega =v-u=\frac{11}{12}\, \text{об/ч}$. Следовательно, минутная сделает один полный оборот относительно часовой за $\frac{1}{\omega}=\frac{12}{11}\, \text{ч}$, что равно $1$ час $5$ мин. и $27\tfrac{3}{11}$ сек.
# 27 Сен 2015 21:06:35
WeirdStranger
Несколько решений - это еще лучше!
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.