# Раскрыли все скобки. Сколько слагаемых получилось?

 # 21 Сен 2015 11:07:31 Math В выражении раскрыли все скобки и привели подобные слагаемые. Сколько слагаемых получилось? $(1+x)(1+x^2)(1+x^3)\cdots(1+x^{1000})$; $(1+x)(1+x^2)(1+x^3)\cdots(1+x^{13})(1+x^{14})(1+x^{1000})^{18}$; $(1+x^2)^{100}(1+x^3)^{100}$. Цитировать # 26 Сен 2015 01:34:06 WeirdStranger а) Будем перемножать скобки как обычно: крайнюю левую на следующую, и результатом, соответственно, будет опять крайняя левая скобка. При перемножении крайняя левая скобка всегда будет содержать сумму слагаемых вида $L*x^k, k=\overline {0,n}$, потому что при умножении, во-первых, содержимое крайней левой скобки дублируется в результирующую (т.к. умножается на $1$ из следующей скобки), и, во-вторых, степени вторых слагаемых в скобках возрастают с шагом $1$, поэтому и степени в результирующей скобке также будут отличаться на единицу. В общем виде очередное перемножение скобок выглядит так (Замечание: коэффициенты при степенях далее в решениях указываться не будут, ибо подобные слагаемые по условию уже приведены, соответственно, никакого влияния коэффициенты на количество слагаемых иметь не будут ): $(1+x+x^2+\cdots+x^n)*(1+x^k)$. Перемножая, получим: $(\underbrace{1+x+x^2+\cdots+x^n}_{\text{Дубликат крайней левой скобки}}+x^k+x^{k+1}+\cdots+x^{n+k})$. Очевидно, что после приведения подобных слагаемых (а оно понадобится, т.к. при $n>3$: $1), учитывая последовательное возрастание степеней с шагом 1, в скобке будет находится $n+k+1$ слагаемых. (Единичка прибавляется, чтобы учесть слагаемое $x^0=1$). Следующее перемножение будет иметь вид $(1+x+x^2+\cdots+x^{n+k})*(1+x^{k+1})$, и в результирующей скобке получим уже $(n+k)+(k+1)+1$ слагаемых и т.д. Учитывая то, что для первой скобки в нашем примере $n=1$ и последняя степень равна $1000$, получаем количество слагаемых: $1+\sum_{k=1}^{1000}k=1+\frac{1000*(1000+1)}{2}={\color{red}500501}$ б) Найдем количество слагаемых в результате перемножения первых 14-ти скобок по вышевыведенной формуле: $1+\sum_{k=1}^{14}k=1+\frac{14*(14+1)}{2}=106$. Обозначим результат $(1)$. Рассмотрим $(1+x^{1000})^{18}$: при перемножении первых двух скобок получим $(1+x^{1000}+x^{1000000})*(1+x^{1000})^{16}$, при перемножении первых трех получим $(1+x^{1000}+x^{1000000}+x^{1000000000})*(1+x^{1000})^{15}$ и т.д. Нетрудно догадаться, что при перемножении $n$ скобок такого вида, мы получим $n+1$ различных слагаемых. Таким образом, результат $(1+x^{1000})^{18}$ будет иметь 19 слагаемых Обозначим результат $(2)$. Так как максимальная степень слагаемого в выражении $(1)$ равна $105$, а степени в выражении $(2)$ начинаются с $0$ и идут дальше с шагом $1000$, то при умножении выражения $(1)$ на выражение $(2)$ подобных слагаемых не появится, поэтому количество слагаемых в итоговом результате будет $106*19={\color{red}2014}$ в) По вышеприведенным рассуждениям можно легко узнать количество слагаемых в каждой скобке: $\underbrace{(1+x^2+x^4+x^6+\cdots+x^{198}+x^{200})}_{\text{101 слагаемое}}*\underbrace{(1+x^3+x^6+x^9+\cdots+x^{297}+x^{300})}_{\text{101 слагаемое}}$. Начнем умножать первую скобку последовательно на каждый из слагаемых второй скобки для выявления зависимости: 1) При умножении первой скобки на $1$, первая скобка продублируется; 2) При дальнейшем умножении первой скобки на $x^3$ результат примет вид $(1+x^2+x^3+x^4+x^5+\cdots+x^{198}+x^{199}+x^{200}+x^{201}+x^{203})$. Заметим, что слагаемое $x^{202}$ отсутствует, т.к. его нельзя было получить умножением содержимого первой скобки на $x^3$. По сути, мы имеем сумму слагаемых вида $x^k, k=\overline {0,203}$ за исключением слагаемого $x^{202}$ (Всего - 203 слагаемых). 3) При дальнейшем умножении первой скобки на $x^6$ в результат добавятся новые слагаемые $x^{202}, x^{204} и x^{206}$. Результат - сумма слагаемых вида $x^k, k=\overline {0,206}$ за исключением слагаемого $x^{205}$ (Всего - 205 слагаемых); 4) При дальнейшем умножении первой скобки на $x^9$ в результат добавятся новые слагаемые $x^{205}, x^{207} и x^{209}$. Результат - сумма слагаемых вида $x^k, k=\overline {0,209}$ за исключением слагаемого $x^{208}$ (Всего - 208 слагаемых); Таким образом, несложно догадаться, что последнее слагаемое итогового результата будет $x^{200+300}=x^{500}$, слагаемого $x^{499}$ там не будет, ибо для этого нужно $x^{196}$ умножить на $x^{303}$, которого в скобках у нас, увы, нет, но при этом опять появился бы пробел в последовательности слагаемых от $x^{0}$ до $x^{503}$ в виде отсутствия $x^{502}$... Поэтому итоговый результат будет содержать ровно $501-1={\color{red}500}$ слагаемых. Если заметили какую-либо ошибку - пишите. Цитировать # 27 Сен 2015 02:12:36 WeirdStranger В задаче под буквой в): не учел, что в итоговом результате также отсутствует слагаемое $x^{1}$, поэтому итоговый результат будет содержать ${\color{red}499}$ слагаемых. Цитировать # 27 Сен 2015 16:28:09 Evgeniy WeirdStranger, не сочтите за поучение, просто хотел посоветовать, вместо $*$ можно ставить точку \cdot. Например $1000 \cdot (1000+1)$. Цитировать # 27 Сен 2015 21:11:16 WeirdStranger Ага, учту. Цитировать
 *Имя: Заголовок: size size –3 –2 –1 +1 +2 +3 font tnr arl thm crn tex color color lgray gray dgray brown dred red pink orange gold yellow olive lime lgreen green dgreen teal cyan sky azure blue dblue navy purple violet orchid fuchsia span span tex i b u z ov cp sp h 1 2 3 4 align c l r j div div c bl1 bl2 ind1 ind2 bq block block c bl1 bl2 ind1 ind2 bq box box s cap o u list list =1 table table f symb symb nbsp [ ] { } | pre pre m code code m [tex-clear] [tex-help] [ted] formulas > Формат Шрифт $\mathit{}$ $\mathbf{}$ $\mathrm{}$ $\mathsf{}$ $\mathfrak{}$ $\mathbb{}$ $\mathcal{}$ $\mathscr{}$ Размер $\tiny Aa$ $\scriptsize Aa$ $\footnotesize Aa$ $\small Aa$ $\normalsize Aa$ $\large Aa$ $\Large Aa$ $\LARGE Aa$ $\huge Aa$ $\Huge Aa$ Цвет ${\color{Red} }$ ${\color{DarkRed} }$ ${\color{BrickRed} }$ ${\color{Magenta} }$ ${\color{VioletRed} }$ ${\color{Yellow} }$ ${\color{Orange} }$ ${\color{DarkOrange} }$ ${\color{Brown} }$ ${\color{Sepia} }$ ${\color{Green} }$ ${\color{DarkGreen} }$ ${\color{ForestGreen} }$ ${\color{Teal} }$ ${\color{Emerald} }$ ${\color{Blue} }$ ${\color{DarkBlue} }$ ${\color{RoyalBlue} }$ ${\color{BlueViolet} }$ ${\color{Purple} }$ ${\color{Gray} }$ ${\color{Plum} }$ ${\color{Cyan} }$ Стиль \text{} $\tstyle$ $\dstyle$ Дроби, корни $\frac{}{}$ $\tfrac{}{}$ $\dfrac{}{}$ $\cfrac{}{}$ $\over$ $\atop$ $\sqrt{}$ $\sqrt[]{}$ $\binom{}{}$ $\tbinom{}{}$ Скобки $()$ $\{\}$ $[]$ $||$ $\|\|$ $\langle \rangle$ $\left( \right)$ $\left\{ \right\}$ $\left[ \right]$ $\left| \right|$ $\left\| \right\|$ $\left\langle \right\rangle$ $\left( \right.$ $\left. \right)$ $\left\{ \right.$ $\left. \right\}$ $\left[ \right.;$ $\left. \right]$ $\left| \right.;$ $\left. \right|$ Индексы, декор. $^{}$ $_{}$ $^{}_{}$ ${}^{}$ ${}_{}$ ${}^{}_{}$ $\leftidx{}{}{}$ $\ltrans{}$ $\vec{}$ $\bar{}$ $\tilde{}$ $\hat{}$ $\dot{}$ $\ddot{}$ $\dddot{}$ $^{\circ}$ $\overset{\circ}{}$ $\overset{\frown}{}$ $\overrightarrow{}$ $\overleftarrow{}$ $\overline{}$ $\underline{}$ $\widetilde{}$ $\widehat{}$ $\overbrace{}^{}$ $\underbrace{}_{}$ $\overset{}{}$ $\underset{}{}$ $\left. \right|_{}^{}$ $\left. \right|_{}$ $\not{}$ $\cancel{}$ $\bcancel{}$ $\xcancel{}$ Пробелы, разд. $\!$  $\,$ $\;$ $\$ $\quad$ $\qquad$ $\cdot$ $\dots$ $\cdots$ $\ddots$ $\vdots$ $\colon$ $\mid$ \phantom{} \mathstrut{} Квант., операц. $\forall$ $\exists$ $\exists!$ $\nexists$ $\lnot$ $\land$ $\lor$ $\cup$ $\cap$ $\sqcup$ $\sqcap$ $\setminus$ $\bigtriangleup$ $\uplus$ $\cdot$ $\circ$ $\times$ $\pm$ $\mp$ $\dotplus$ $\div$ $/$ $\neg$ $\wedge$ $\vee$ $\barwedge$ $\veebar$ $\curlywedge$ $\curlyvee$ $\textasciicircum$ $\oplus$ $\ominus$ $\otimes$ $\oslash$ $\odot$ $\circledcirc$ $\circledast$ Отношения $\in$ $\notin$ $\ni$ $\not\ni$ $\subset$ $\supset$ $\not\subset$ $\not\supset$ $\subseteq$ $\supseteq$ $\nsubseteq$ $\nsupseteq$ $\subsetneq$ $\supsetneq$ $\subsetneqq$ $\supsetneqq$ $\neq$ $\approx$ $\equiv$ $\not\equiv$ $\sim$ $\nsim$ $\cong$ $\ncong$ $\leqslant$ $\geqslant$ $\nleqslant$ $\ngeqslant$ $\le$ $\ge$ $\nleq$ $\ngeq$ $\nless$ $\ngtr$ $\lneq$ $\gneq$ $\lneqq$ $\gneqq$ $\ll$ $\gg$ $\prec$ $\succ$ $\nprec$ $\nsucc$ $\preceq$ $\succeq$ $\npreceq$ $\nsucceq$ $:=$ $\overset{\mathrm{def}}{=}$ $\triangleq$ $\models$ $\vdash$ $\dashv$ $\mid$ $\nmid$ $\mathop{\vdots}$ $\mathop{\not\vdots}$ $\parallel$ $\nparallel$ $\perp$ $\not\perp$ Стрелки $\to$ $\mapsto$ $\rightarrow$ $\leftarrow$ $\leftrightarrow$ $\nrightarrow$ $\nleftarrow$ $\nleftrightarrow$ $\Rightarrow$ $\Leftarrow$ $\Leftrightarrow$ $\nRightarrow$ $\nLeftarrow$ $\nLeftrightarrow$ $\Uparrow$ $\Downarrow$ $\Updownarrow$ $\rightrightarrows$ $\longmapsto$ $\longrightarrow$ $\longleftarrow$ $\longleftrightarrow$ $\uparrow$ $\downarrow$ $\updownarrow$ $\Longrightarrow$ $\Longleftarrow$ $\Longleftrightarrow$ $\implies$ $\iff$ $\rightleftarrows$ $\nearrow$ $\swarrow$ $\nwarrow$ $\searrow$ $\circlearrowleft$ $\circlearrowright$ $\curvearrowleft$ $\curvearrowright$ $\xrightarrow[]{}$ $\xleftarrow[]{}$ Буквы Греческие $\Gamma$ $\Delta$ $\Theta$ $\Lambda$ $\Xi$ $\Pi$ $\Sigma$ $\Upsilon$ $\Phi$ $\Psi$ $\Omega$ $\digamma$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\delta$ $\epsilon$ $\varepsilon$ $\zeta$ $\eta$ $\theta$ $\vartheta$ $\iota$ $\kappa$ $\varkappa$ $\lambda$ $\mu$ $\nu$ $\xi$ $\pi$ $\varpi$ $\rho$ $\varrho$ $\sigma$ $\varsigma$ $\tau$ $\upsilon$ $\phi$ $\varphi$ $\chi$ $\psi$ $\omega$ Резные $\mathbb{A}$ $\mathbb{B}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{D}$ $\mathbb{E}$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{G}$ $\mathbb{H}$ $\mathbb{I}$ $\mathbb{J}$ $\mathbb{K}$ $\mathbb{L}$ $\mathbb{M}$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{O}$ $\mathbb{P}$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{S}$ $\mathbb{T}$ $\mathbb{U}$ $\mathbb{V}$ $\mathbb{W}$ $\mathbb{X}$ $\mathbb{Y}$ $\mathbb{Z}$ Калиграф. $\mathcal{A}$ $\mathcal{B}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{D}$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{F}$ $\mathcal{G}$ $\mathcal{H}$ $\mathcal{I}$ $\mathcal{J}$ $\mathcal{K}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{M}$ $\mathcal{N}$ $\mathcal{O}$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{Q}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{S}$ $\mathcal{T}$ $\mathcal{U}$ $\mathcal{V}$ $\mathcal{W}$ $\mathcal{X}$ $\mathcal{Y}$ $\mathcal{Z}$ Рукописные. $\mathscr{A}$ $\mathscr{B}$ $\mathscr{C}$ $\mathscr{D}$ $\mathscr{E}$ $\mathscr{F}$ $\mathscr{G}$ $\mathscr{H}$ $\mathscr{I}$ $\mathscr{J}$ $\mathscr{K}$ $\mathscr{L}$ $\mathscr{M}$ $\mathscr{N}$ $\mathscr{O}$ $\mathscr{P}$ $\mathscr{Q}$ $\mathscr{R}$ $\mathscr{S}$ $\mathscr{T}$ $\mathscr{U}$ $\mathscr{V}$ $\mathscr{W}$ $\mathscr{X}$ $\mathscr{Y}$ $\mathscr{Z}$ Готические $\mathfrak{A}$ $\mathfrak{B}$ $\mathfrak{C}$ $\mathfrak{D}$ $\mathfrak{E}$ $\mathfrak{F}$ $\mathfrak{G}$ $\mathfrak{H}$ $\mathfrak{I}$ $\mathfrak{J}$ $\mathfrak{K}$ $\mathfrak{L}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{N}$ $\mathfrak{O}$ $\mathfrak{P}$ $\mathfrak{Q}$ $\mathfrak{R}$ $\mathfrak{S}$ $\mathfrak{T}$ $\mathfrak{U}$ $\mathfrak{V}$ $\mathfrak{W}$ $\mathfrak{X}$ $\mathfrak{Y}$ $\mathfrak{Z}$ $\mathfrak{a}$ $\mathfrak{b}$ $\mathfrak{c}$ $\mathfrak{d}$ $\mathfrak{e}$ $\mathfrak{f}$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{h}$ $\mathfrak{i}$ $\mathfrak{j}$ $\mathfrak{k}$ $\mathfrak{l}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{n}$ $\mathfrak{o}$ $\mathfrak{p}$ $\mathfrak{q}$ $\mathfrak{r}$ $\mathfrak{s}$ $\mathfrak{t}$ $\mathfrak{u}$ $\mathfrak{v}$ $\mathfrak{w}$ $\mathfrak{x}$ $\mathfrak{y}$ $\mathfrak{z}$ Значки $\varnothing$ $\infty$ $\partial$ $\aleph$ $\mathfrak{c}$ $\ell$ $\hbar$ $\O$ $\bot$ $\top$ $\angle$ $\measuredangle$ $\sphericalangle$ $\frown$ $\smile$ $\vartriangle$ $\triangledown$ $\blacktriangle$ $\blacktriangledown$ $\triangleleft$ $\triangleright$ $\blacktriangleleft$ $\blacktriangleright$ $\triangle$ $\square$ $\blacksquare$ $\bigcirc$ $\star$ $\bigstar$ $\bullet$ $\diamond$ $\textasciicircum$ $\therefore$ $\because$ $\&$ $\%$ $\S$ $\P$ $\backslash$ Операторы Станд. функц. $\max_{}$ $\min_{}$ $\sup_{}$ $\inf_{}$ $\Pr_{}$ $\operatorname{sign}$ $\deg$ $\arg$ $\operatorname{\text{нод}}$ $\operatorname{\text{нок}}$ $\operatorname{Im}$ $\operatorname{Re}$ $\dim$ $\ker$ $\hom$ $\operatorname{diag}$ $\operatorname{rank}$ $\det$ $\operatorname{tr}$ $\operatorname{spec}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{M}$ $\mathsf{D}$ $\Im$ $\Re$ \operatorname{} Элем. функц. $\exp$ $\log_{}$ $\ln$ $\lg$ $\sin$ $\cos$ $\tg$ $\ctg$ $\arcsin$ $\arccos$ $\arctg$ $\arcctg$ $\sh$ $\ch$ $\th$ $\cth$ Индукт. опер. $\sum_{}^{}$ $\sum_{}$ $\sum$ $\prod_{}^{}$ $\prod_{}$ $\prod$ $\bigcup_{}^{}$ $\bigcup_{}$ $\bigcup$ $\bigcap_{}^{}$ $\bigcap_{}$ $\bigcap$ $\bigsqcup_{}^{}$ $\bigsqcup_{}$ $\bigsqcup$ $\biguplus_{}^{}$ $\biguplus_{}$ $\biguplus$ $\bigvee_{}^{}$ $\bigwedge_{}^{}$ $\bigoplus_{}^{}$ $\bigotimes_{}^{}$ $\bigodot_{}^{}$ Пределы $\lim_{n\to\infty}$ $\lim_{x\to }$ $lim_{}$ $\limsup_{n\to\infty}$ $\liminf_{n\to\infty}$ $\varlimsup_{n\to\infty}$ $\varliminf_{n\to\infty}$ $\to$ $\rightrightarrows$ $\infty$ Дифф. опер. $\mathrm{d}$ $\partial$ $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}$ $\frac{\partial }{\partial x}$ $\frac{\partial^2 }{\partial x^2}$ $\nabla$ $\Delta$ $\operatorname{grad}$ $\operatorname{div}$ $\operatorname{rot}$ Интегралы $\int$ $\int_{}^{}$ $\int\limits_{}^{}$ $\int_{}$ $\int\limits_{}$ $\oint$ $\oint_{}$ $\oint\limits_{}$ $\ointctrclockwise$ $\ointclockwise$ $\iint$ $\iint_{}$ $\iint\limits_{}$ $\oiint$ $\oiint_{}$ $\oiint\limits_{}$ $\varoiint$ $\sqiint$ $\iiint$ $\iiint_{}$ $\iiint\limits_{}$ $\dotsint$ $\dotsint_{}$ $\dotsint\limits_{}$ Сравнения $\equiv$ $\mod{}$ $\pmod{}$ $\pod{}$ Матрицы $\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}$ $\begin{pmatrix} & \\ & \end{pmatrix}$ $\begin{vmatrix} & \\ & \end{vmatrix}$ $\begin{Vmatrix} & \\ & \end{Vmatrix}$ $\begin{bmatrix} & \\ & \end{bmatrix}$ $\begin{Bmatrix} & \\ & \end{Bmatrix}$ $\left\{\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right.$ $\left[\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right.$ $\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right\}$ $\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|$ $\left(\begin{smallmatrix} & \\ & \end{smallmatrix}\right)$ $\binom{}{}$ $\tbinom{}{}$ Блоки $\begin{cases} & \\ & \end{cases}$ \begin{aligned} & \\ & \end{aligned} \begin{align} & \tag{} \\ & \tag{} \end{align} $\begin{tikzpicture} \end{tikzpicture}$ $\ce{}$ Преобразовать url в ссылки Преобразовать в tex *Вычислите Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.