x, y, z

Раскрыли все скобки. Сколько слагаемых получилось?

# 21 Сен 2015 11:07:31
Math

В выражении раскрыли все скобки и привели подобные слагаемые. Сколько слагаемых получилось?

  1. $(1+x)(1+x^2)(1+x^3)\cdots(1+x^{1000})$;
  2. $(1+x)(1+x^2)(1+x^3)\cdots(1+x^{13})(1+x^{14})(1+x^{1000})^{18}$;
  3. $(1+x^2)^{100}(1+x^3)^{100}$.
# 26 Сен 2015 01:34:06
WeirdStranger
а) Будем перемножать скобки как обычно: крайнюю левую на следующую, и результатом, соответственно, будет опять крайняя левая скобка. При перемножении крайняя левая скобка всегда будет содержать сумму слагаемых вида $L*x^k, k=\overline {0,n}$, потому что при умножении, во-первых, содержимое крайней левой скобки дублируется в результирующую (т.к. умножается на $1$ из следующей скобки), и, во-вторых, степени вторых слагаемых в скобках возрастают с шагом $1$, поэтому и степени в результирующей скобке также будут отличаться на единицу.
В общем виде очередное перемножение скобок выглядит так (Замечание: коэффициенты при степенях далее в решениях указываться не будут, ибо подобные слагаемые по условию уже приведены, соответственно, никакого влияния коэффициенты на количество слагаемых иметь не будут ): $(1+x+x^2+\cdots+x^n)*(1+x^k)$. Перемножая, получим: $(\underbrace{1+x+x^2+\cdots+x^n}_{\text{Дубликат крайней левой скобки}}+x^k+x^{k+1}+\cdots+x^{n+k})$. Очевидно, что после приведения подобных слагаемых (а оно понадобится, т.к. при $n>3$: $1<k<n$), учитывая последовательное возрастание степеней с шагом 1, в скобке будет находится $n+k+1$ слагаемых. (Единичка прибавляется, чтобы учесть слагаемое $x^0=1$). Следующее перемножение будет иметь вид $(1+x+x^2+\cdots+x^{n+k})*(1+x^{k+1})$, и в результирующей скобке получим уже $(n+k)+(k+1)+1$ слагаемых и т.д. Учитывая то, что для первой скобки в нашем примере $n=1$ и последняя степень равна $1000$, получаем количество слагаемых: $1+\sum_{k=1}^{1000}k=1+\frac{1000*(1000+1)}{2}={\color{red}500501}$

б) Найдем количество слагаемых в результате перемножения первых 14-ти скобок по вышевыведенной формуле: $1+\sum_{k=1}^{14}k=1+\frac{14*(14+1)}{2}=106$. Обозначим результат $(1)$.
Рассмотрим $(1+x^{1000})^{18}$: при перемножении первых двух скобок получим $(1+x^{1000}+x^{1000000})*(1+x^{1000})^{16}$, при перемножении первых трех получим $(1+x^{1000}+x^{1000000}+x^{1000000000})*(1+x^{1000})^{15}$ и т.д. Нетрудно догадаться, что при перемножении $n$ скобок такого вида, мы получим $n+1$ различных слагаемых. Таким образом, результат $(1+x^{1000})^{18}$ будет иметь 19 слагаемых Обозначим результат $(2)$.
Так как максимальная степень слагаемого в выражении $(1)$ равна $105$, а степени в выражении $(2)$ начинаются с $0$ и идут дальше с шагом $1000$, то при умножении выражения $(1)$ на выражение $(2)$ подобных слагаемых не появится, поэтому количество слагаемых в итоговом результате будет $106*19={\color{red}2014}$

в) По вышеприведенным рассуждениям можно легко узнать количество слагаемых в каждой скобке: $\underbrace{(1+x^2+x^4+x^6+\cdots+x^{198}+x^{200})}_{\text{101 слагаемое}}*\underbrace{(1+x^3+x^6+x^9+\cdots+x^{297}+x^{300})}_{\text{101 слагаемое}}$.
Начнем умножать первую скобку последовательно на каждый из слагаемых второй скобки для выявления зависимости:
1) При умножении первой скобки на $1$, первая скобка продублируется;
2) При дальнейшем умножении первой скобки на $x^3$ результат примет вид $(1+x^2+x^3+x^4+x^5+\cdots+x^{198}+x^{199}+x^{200}+x^{201}+x^{203})$. Заметим, что слагаемое $x^{202}$ отсутствует, т.к. его нельзя было получить умножением содержимого первой скобки на $x^3$. По сути, мы имеем сумму слагаемых вида $x^k, k=\overline {0,203}$ за исключением слагаемого $x^{202}$ (Всего - 203 слагаемых).
3) При дальнейшем умножении первой скобки на $x^6$ в результат добавятся новые слагаемые $x^{202}, x^{204} и x^{206}$. Результат - сумма слагаемых вида $x^k, k=\overline {0,206}$ за исключением слагаемого $x^{205}$ (Всего - 205 слагаемых);
4) При дальнейшем умножении первой скобки на $x^9$ в результат добавятся новые слагаемые $x^{205}, x^{207} и x^{209}$. Результат - сумма слагаемых вида $x^k, k=\overline {0,209}$ за исключением слагаемого $x^{208}$ (Всего - 208 слагаемых);

Таким образом, несложно догадаться, что последнее слагаемое итогового результата будет $x^{200+300}=x^{500}$, слагаемого $x^{499}$ там не будет, ибо для этого нужно $x^{196}$ умножить на $x^{303}$, которого в скобках у нас, увы, нет, но при этом опять появился бы пробел в последовательности слагаемых от $x^{0}$ до $x^{503}$ в виде отсутствия $x^{502}$... Поэтому итоговый результат будет содержать ровно $501-1={\color{red}500}$ слагаемых.

Если заметили какую-либо ошибку - пишите.
# 27 Сен 2015 02:12:36
WeirdStranger
В задаче под буквой в): не учел, что в итоговом результате также отсутствует слагаемое $x^{1}$, поэтому итоговый результат будет содержать ${\color{red}499}$ слагаемых.
# 27 Сен 2015 16:28:09
Evgeniy

WeirdStranger, не сочтите за поучение, просто хотел посоветовать, вместо $*$ можно ставить точку \cdot. Например $1000 \cdot (1000+1)$.
# 27 Сен 2015 21:11:16
WeirdStranger
Ага, учту.
*Имя:
Заголовок:
[tex-clear] [tex-help] [ted]
  • formulas >

*Вычислите
Captcha
Отправляя данные, вы соглашаетесь с Правилами сайта.