Подмножество H группы G называется подгруппой, если оно само является группой относительно операции группы G. Докажите, что единица группы H совпадает с единицей группы G; обратный элемент в H совпадает с обратным элементом в G.

Сколькими способами можно раскрасить грани правильного куба, если в наличии есть три цвета? Два варианта раскраски считаются разными, если один нельзя получить из другого переворачиваниями куба. Грань красится в один цвет.

Сколькими способами можно раскрасить грани правильного тетраэдра, если в наличии есть три цвета? Два варианта раскраски считаются разными, если один нельзя получить из другого переворачиваниями тетраэдра. Грань красится в один цвет.

Интуиция подсказывает, что основные структуры в математике должны быть исключительными и математически красивыми. В математике повсюду встречаются группы и кольца, а также их частные случай и расширения — поля, линейные пространства, алгебры. Но почему именно эти структуры? Чем уникальны наборы аксиом группы и кольца?