Покажите, что топологическая размерность квадрата (с внутренностью) равна 2. Проверьте, что топологическая размерность ковра Серпинского равна 1. Чему равна его фрактальная размерность?

Математики доказали, что произвольная замкнутая фигура на плоскости может быть сколь угодно близко приближена множеством Жюлиа для подходящего многочлена. Среди прочего, в качестве демонстрации собственной техники, ученым удалось построить достаточно хорошее приближение силуэта кота.

Сколькими способами можно раскрасить грани правильного куба, если в наличии есть три цвета? Два варианта раскраски считаются разными, если один нельзя получить из другого переворачиваниями куба. Грань красится в один цвет.

Сколькими способами можно раскрасить грани правильного тетраэдра, если в наличии есть три цвета? Два варианта раскраски считаются разными, если один нельзя получить из другого переворачиваниями тетраэдра. Грань красится в один цвет.

Квадратная таблица n×n заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отличающиеся одно от другого, не больше чем на 1. Докажите, что хотя бы одно число встречается в таблице не менее, чем n раз.

У Пети в школе всего три предмета — математика, физика и информатика. Школа работает без выходных и праздников, и каждый день Петя получает одну оценку (2,3,4 или 5) по каждому предмету. Родители хвалят Петю, если по большинству предметов сегодня оценки лучше, чем вчера. Какое наибольшее количество дней подряд Петю могут хвалить?