Гипотеза Била — гипотеза в теории чисел, обобщение великой теоремы Ферма. Предложена в 1993 году техасским миллиардером и математиком-любителем Эндрю Билом (англ. Andrew Beal), который учредил премию за её доказательство или опровержение в 100 тыс. долларов, а в 2013 году увеличил эту премию до 1 млн долларов.

В игре «Что? Где? Когда?» в каждом раунде волчок останавливается в секторе номер N, где N равновероятно принимает одно из значений 1, 2, …, 13. Выпавшим считается первый из секторов по часовой стрелке, который ранее не выпадал. Найти вероятность того, что после шести раундов сыграют (в любом порядке) сектора 1, 2, …, 6.

Игра происходит в двумерном мире, который состоит из блоков размером 1×1. Остров игрока представляет собой набор столбцов различной высоты, состоящих из блоков камня и окруженный морем. Над островом прошёл сильный дождь, который заполнил водой все низины, а не поместившаяся в них вода стекла в море, не увеличив его уровень. Придумайте алгоритм, который по заданному ландшафту острова определяет, сколько блоков воды осталось после дождя в низинах на острове.

Подмножество H группы G называется подгруппой, если оно само является группой относительно операции группы G. Докажите, что единица группы H совпадает с единицей группы G; обратный элемент в H совпадает с обратным элементом в G.

Комплексные числа можно определять разными способами: Как множество упорядоченных пар вещественных чисел. Путем удвоения (процедура Кэли-Диксона) алгебры R. Как двумерную коммутативную алгебру над полем R. Как факторкольцо. Через матрицы поворота. Какие еще способы есть? Какой способ более простой и естественный?

Покажите, что топологическая размерность квадрата (с внутренностью) равна 2. Проверьте, что топологическая размерность ковра Серпинского равна 1. Чему равна его фрактальная размерность?

Математики доказали, что произвольная замкнутая фигура на плоскости может быть сколь угодно близко приближена множеством Жюлиа для подходящего многочлена. Среди прочего, в качестве демонстрации собственной техники, ученым удалось построить достаточно хорошее приближение силуэта кота.

Сколькими способами можно раскрасить грани правильного куба, если в наличии есть три цвета? Два варианта раскраски считаются разными, если один нельзя получить из другого переворачиваниями куба. Грань красится в один цвет.